22 задание ОГЭ по математике: графики функций и их свойства, выколотые точки, модули и параметры

Задание 22 ОГЭ по математике является сложнейшей алгебраической задачей второй части КИМа с развёрнутым ответом и приносит 2 первичных балла. В отличие от базовых уравнений и неравенств, 22 линия проверяет глубокое функциональное мышление: умение выполнять тождественные алгебраические преобразования с учётом области определения (ОДЗ), безошибочно строить графики кусочно-заданных функций, парабол, гипербол, графиков с модулями и выколотыми точками, а затем проводить динамическое параметрическое исследование (находить число общих точек с горизонтальной прямой $y = m$ или пучком прямых $y = kx$ ).

На этой странице собрана вся теория и систематизированы все виды прототипов 22 задания из открытого банка ФИПИ: правила раскрытия модулей, алгоритмы поиска и графического изображения выколотых точек, таблицы опорных точек для каждого фрагмента функции, официальные критерии проверки экспертов ОГЭ и эталонные образцы оформления бланка ответов № 2 с местами под иллюстрации.

Отработать построение графиков и параметрический анализ помогут интерактивные тренажёры Задания 22 ОГЭ по математике с пошаговыми эталонами решений.

Критерии оценивания Задания 22 экспертами ФИПИ

Проверка второй части осуществляется двумя экспертами по строгим критериям. Баллы в 22 задании делятся строго пополам между графической и аналитической частями:

Баллы

Требования к решению и оформлению

2 балла

График построен правильно (учтена область определения, явно выколоты недопустимые точки, правильно найдены вершины парабол и асимптоты гипербол), верно найдены все значения параметра ( $m$ или $k$ ).

1 балл

График построен верно, но исследование с параметром не завершено, выполнено с ошибкой или отсутствует вовсе. (Внимание: если сам график построен неверно, то за исследование 1 балл не выставляется — ставится сразу 0!)

0 баллов

Решение не соответствует критериям на 1 или 2 балла (не выколота точка, нарушена форма параболы/гиперболы, не указаны оси или единичный отрезок).

Все типы графиков функций в Задании 22 ОГЭ

Все прототипы двадцать второго номера подразделяются на 4 ключевых класса функций:

1. Кусочно-заданные функции 🧩

Функции, заданные различными формулами на смежных промежутках (например, прямая при $x < 2$ и парабола при $x \ge 2$ ). Требуется обязательно проверять стык фрагментов (непрерывность или разрыв).

2. Дроби с выколотыми точками ⭕

Дробно-рациональные функции, числитель которых раскладывается на множители и сокращается со знаменателем: $y = \dfrac{(x^2 - 4)(x + 1)}{x - 2}$ . График превращается в параболу или гиперболу с выколотой точкой.

3. Функции со знаком модуля 🪞

Выражения вида $y = x^2 - 2x - 3|x|$ или $y = \dfrac{x^2 - 3x}{|x|}$ . Раскрываются на два случая по определению модуля: при $x \ge 0$ ( $|x| = x$ ) и при $x < 0$ ( $|x| = -x$ ).

4. Сдвиги и преобразования парабол 📈

Квадратичные функции вида $y = ax^2 + bx + c$ , требующие точного нахождения вершины $(x_{\text{в}}; y_{\text{в}})$ , таблицы значений и оси симметрии.

Теория построения и исследование прямой с параметром

Для безупречного построения графиков используйте фундаментальные алгебраические правила:

Тип линии

Опорные формулы

Обязательные требования к оформлению

Парабола
$y = ax^2 + bx + c$

x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}, \quad y_{\text{в}} = y(x_{\text{в}})

Явно рассчитать вершину и составить таблицу минимум из 5 точек (вершина и по 2 симметричные точки по бокам).

Гипербола
$y = \dfrac{k}{x}$

Асимптоты:
$x = 0$ (ось $Oy$ ), $y = 0$ (ось $Ox$ ).

Ветви не должны пересекать или касаться асимптот; составить таблицу точек для каждой ветви ( $x > 0$ и $x < 0$ ).

Прямая $y = m$
(горизонтальная)

Параллельна оси $Ox$ . Пересекает ось $Oy$ в точке $(0; m)$ .

Мысленно сканируем график снизу вверх от $-\infty$ до $+\infty$ , фиксируя критические уровни (вершины, выколотые точки, стыки).

Прямая $y = kx$
(пучок прямых)

Проходит через начало координат $(0;0)$ с угловым коэффициентом $k$ .

Вращаем прямую вокруг $(0;0)$ , отслеживая касания с параболой ( $D = 0$ ) и прохождение через выколотые точки ( $y_0 = k x_0$ ).

Ошибки, за которые мгновенно ставят 0 баллов! 💡

1. Не выколота точка на графике: Если знаменатель исходной дроби обращается в ноль при $x = x_0$ , вы обязаны не просто написать ОДЗ, а нарисовать прозрачный кружок (выколотую точку) на самом графике и указать её координаты $(x_0; y_0)$ !

2. «Угловатая» парабола: Парабола в окрестности вершины должна быть гладкой округлой линией, а не «острым уголком». Ветви параболы не должны загибаться внутрь.

3. Отсутствие координатных осей и масштаба: Рисунок без подписанных осей $Ox, Oy$ , стрелок направления, начала отсчёта $O$ и единичного отрезка эксперты имеют право не проверять.

4. Отсутствие таблиц значений: Нельзя строить график «на глаз» по двум точкам — эксперт должен видеть расчетную таблицу в решении.

Пошаговый алгоритм выполнения Задания 22

При оформлении 22 задания на бланке № 2 придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Найдите область определения (ОДЗ) и упростите формулу: выпишите ограничения знаменателя ( $x \neq a$ ), разложите числитель на множители и сократите дробь (или раскройте модули по знаку подмодульного выражения).

Составьте таблицы точек для каждого фрагмента: рассчитайте координаты вершины параболы и координаты выколотых точек $(x_{\text{вык}}; y_{\text{вык}})$ .

Постройте график в системе координат: нанесите оси, единичный отрезок, отметьте точки из таблиц, соедините их плавными линиями и обязательно выколите незакрашенным кружком запрещённые точки.

Проведите параметрический анализ: исследуйте количество пересечений с прямой $y = m$ (или $y = kx$ ), запишите текстовое пояснение для каждого случая и сформируйте итоговый ответ.

Разбор прототипов Задания 22 из банка ФИПИ

Рассмотрите полные решения двух классических задач 22 линии с эталонным оформлением для бланка ответов № 2.

Пример 1: Дробно-рациональная функция с выколотой точкой и прямой y = m

Задание: Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2 + 3x) \cdot |x|}{x + 3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Эталонное решение для бланка № 2:

1) Область определения: Знаменатель дроби не равен нулю:
$$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$$

2) Вынесем общий множитель $x$ в скобке и упростим функцию при $x \neq -3$ :
$$y = \dfrac{x(x + 3) \cdot |x|}{x + 3} = x \cdot |x|$$

3) Раскроем знак модуля с учётом области определения ( $x \neq -3$ ):
• При $x \ge 0$ : $|x| = x \implies y = x^2$ (часть параболы).
• При $x < 0$ и $x \neq -3$ : $|x| = -x \implies y = -x^2$ (часть параболы с выколотой точкой).

4) Координаты выколотой точки:
При $x = -3$ : $y = -(-3)^2 = -9$ . Точка $(-3; -9)$ — выколотая.

5) Таблица значений:
• Для ветви $y = x^2$ ( $x \ge 0$ ):
$(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(2; 4)$ , $(3; 9)$ .
• Для ветви $y = -x^2$ ( $x < 0, x \neq -3$ ):
$(-1; -1)$ , $(-2; -4)$ , $(-3; -9)$ — выколотая, $(-4; -16)$ .

Место под иллюстрацию: система координат с графиком $y = x|x|$ (кубическая параболоподобная кривая из двух половин), выколотой точкой $(-3; -9)$ и пунктирной горизонтальной прямой $y = -9$ .

6) Исследование прямой $y = m$ :
Прямая $y = m$ параллельна оси абсцисс.
• При $m = -9$ прямая проходит через выколотую точку $(-3; -9)$ и не пересекает график, так как сама функция монотонно возрастает на всей области определения и принимает каждое значение ровно один раз.
• При всех остальных значениях $m \neq -9$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Следовательно, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек только при $m = -9$ .

Ответ: $m = -9$ .

Пример 2: Кусочно-заданная функция (парабола и гипербола)

Задание: Постройте график функции:
$$y = \begin{cases} -x^2 - 2x + 3, & \text{если } x \ge -2, \\ -\dfrac{3}{x}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Эталонное решение для бланка № 2:

1) Построение первого фрагмента: $y = -x^2 - 2x + 3$ при $x \ge -2$ .
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз ( $a = -1 < 0$ ).
• Координаты вершины:
$$x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$$
$$y_{\text{в}} = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \implies \text{Вершина } (-1; 4)$$
• Таблица точек:
$x = -2 \implies y = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 = 3$ (точка стыка);
$x = -1 \implies y = 4$ (вершина);
$x = 0 \implies y = 3$ ;
$x = 1 \implies y = 0$ ;
$x = 2 \implies y = -5$ .

2) Построение второго фрагмента: $y = -\dfrac{3}{x}$ при $x < -2$ .
Графиком является ветвь гиперболы во II четверти.
• Граничная точка стыка (выколотая для гиперболы): при $x = -2 \implies y = -\dfrac{3}{-2} = 1{,}5$ .
• Таблица точек:
$x = -3 \implies y = 1$ ;
$x = -6 \implies y = 0{,}5$ .
При $x \to -\infty$ ветвь стремится к асимптоте $y = 0$ .

Место под иллюстрацию: система координат с параболой при $x \ge -2$ (вершина в $(-1; 4)$ ) и гиперболой при $x < -2$ , разрывом в точке $x = -2$ и прямыми $y = 1{,}5$ , $y = 3$ , $y = 4$ .

3) Исследование числа общих точек с прямой $y = m$ :
• При $m < 0$ : $1$ общая точка (с правой ветвью параболы).
• При $0 \le m \le 1$ : $2$ общие точки (с гиперболой и правой ветвью параболы).
• При $1 < m < 1{,}5$ : $2$ общие точки.
• При $m = 1{,}5$ : $1$ общая точка (точка на гиперболе выколота, остаётся только правая ветвь параболы).
• При $1{,}5 < m < 3$ : $2$ общие точки (обе на ветвях параболы).
• При $m = 3$ : ровно $2$ общие точки — в точке $(-2; 3)$ и $(0; 3)$ .
• При $3 < m < 4$ : $2$ общие точки (на параболе).
• При $m = 4$ : ровно $1$ общая точка (вершина параболы).
• При $m > 4$ : $0$ общих точек.

4) Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $0 \le m < 1{,}5$ и при $1{,}5 < m < 4$ (включая $m = 3$ ).

Ответ: $[0; 1{,}5) \cup (1{,}5; 4)$ .

Тренажёры по Заданию 22 ОГЭ на Экзамео

Научиться строить любые графики функций и забрать максимальные 2 балла за Задание 22 ОГЭ по математике можно с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов второй части открытого банка ФИПИ на кусочно-заданные функции, выколотые точки, параболы, гиперболы, модули и параметрические прямые $y = m$ и $y = kx$ .

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени, показывает интерактивные графики с динамическими линиями параметров и предоставляет критериальные эталоны оформления второй части к каждому номеру. Занимайтесь на Экзамео в удобном ритме, доводите функциональную грамотность до совершенства и получайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы