Перестановки и факториал | 9 класс Вероятность и статистика

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Перестановки» и факториал для учащихся 9 класса в рамках учебного курса «Вероятность и статистика». Важно отметить, что мы разбираем именно перестановки без повторений, Правило умножения. Перестановки и факториалы - рассматриваются перестановки с повторениями. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот систематизированный справочник, чтобы помочь школьникам освоить базовые понятия комбинаторики, научиться выполнять вычисления с факториалами, без ошибок применять формулы перестановок при решении статистических и вероятностных задач и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

В практической математике часто возникает необходимость определить, сколькими способами можно упорядочить или переставить между собой элементы некоторого множества. Для решения таких комбинаторных задач вводятся понятия факториала и перестановок.

Перестановки 9 класс

• Факториал числа $n$ (обозначается $n!$ ) — это произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$ включительно.

• Перестановка из $n$ элементов — это каждое из распоряжений, составленное из всех этих $n$ элементов, отличающееся от других только порядком их следования.

Факториал числа: определение и свойства

Математическая запись $n!$ читается как «эн факториал». По определению:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n - 1) \cdot n$

Важные соглашения и значения факториалов для малых чисел:

Выражение

Развертка произведения

Результат

Примечание

$0!$

По соглашению

Число способов переставить 0 элементов равно 1

$1!$

$1$

Базовое значение

$2!$

$1 \cdot 2$

$2! = 2$

$3!$

$1 \cdot 2 \cdot 3$

$3! = 6$

$4!$

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$

$4! = 24$

$5!$

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

120

$5! = 120$

$6!$

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$

720

$6! = 720$

Основное рекуррентное свойство факториала

Факториал любого натурального числа можно выразить через факториал предыдущего числа

$n! = (n - 1)! \cdot n$

Это свойство очень важно использовать при сокращении дробей, поскольку оно позволяет не считать огромные числа, а просто их сокращать. Многие задачи на перестановки этого включать не будут, но вот в темах Размещения (число способов выбрать и упорядочить) и Сочетания из n по k вы будете встречать это достаточно часто

Пример применения при сокращении дробей: $\frac{8!}{6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{6!} = 7 \cdot 8 = 56$ .

Перестановки и формула $P_n = n!$

Пусть имеется $n$ различных предметов. Сколькими способами их можно расставить по порядку в один ряд?

На первое место можно выбрать любой из $n$ предметов. На второе место — любой из оставшихся $(n - 1)$ предметов, на третье — из оставшихся $(n - 2)$ элементов, и так далее. По правилу умножения в комбинаторике общее количество возможных способов равно:

$P_n = n!$

Где $P_n$ (от фр. permutation — «перестановка») обозначает **число перестановок из $n$ элементов**.

Применение перестановок в задачах теории вероятностей

В курсе «Вероятность и статистика» 9 класса перестановки часто используются для вычисления классической вероятности событий по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$ , где общее число всех равновозможных исходов $N$ вычисляется как число перестановок $P_n = n!$ .

Пример 1. Задачник случайных расстановок

4 книги случайно расставляют на полке. Какова вероятность того, что книги встанут в заранее определенном порядке?

Всего исходов: $N = P_4 = 4! = 24$ .
Благоприятных исходов: $m = 1$ .
Искомая вероятность: $P = \frac{1}{24}$ .

Пример 2. Перестановки с ограничениями

5 человек садятся на скамейку. Какова вероятность того, что два определенных друга сядут рядом?

Считаем двух друзей за 1 единый блок $\to$ всего 4 объекта ( $P_4 = 24$ ).
Внутри блока друзья могут переставляться 2 способами ( $P_2 = 2$ ).
$m = 24 \cdot 2 = 48$ ; $N = P_5 = 120$ .
$P = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} = 0{,}4$ .

Пошаговый алгоритм решения комбинаторных задач на перестановки

Чтобы безошибочно решать задачи на перестановки и вычисление вероятностей в 9 классе, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

**Определите количество всех элементов множества ( $n$ ):** убедитесь, что все элементы различаются и выбираются абсолютно все $n$ предметов.

Проверьте наличие дополнительных условий или ограничений: если некоторые элементы должны стоять рядом, объедините их в один условный блок.

**Вычислите число перестановок по формуле $P_n = n!$ :** используйте рекуррентные свойства факториала для упрощения вычислений.

Найдите вероятность (при необходимости): разделите число благоприятных перестановок $m$ на общее число перестановок $N = P_n$ .

Типичные ошибки при решении задач на перестановки

При синтаксическом и математическом разборе задач девятиклассники чаще всего допускают следующие ошибки:

Ошибка 1: Смешение перестановок и сочетаний ❌

Использовать формулу перестановок $P_n$ , когда выбирается только часть элементов из множества. Помните: перестановки участвуют тогда, когда мы упорядочиваем ВСЕ $n$ имеющихся элементов!

Ошибка 2: Неверные арифметические операции с факториалами ❌

Считать, что $(a + b)! = a! + b!$ или $2 \cdot 3! = 6!$ . Правильно: $2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12$ , тогда как $6! = 720$ !

Подробный разбор практических задач

Рассмотрите примеры решения задач на перестановки и факториалы.

Пример 1: Упрощение выражения с факториалами

Задание: Сократите дробь: $\frac{n!}{(n - 2)!}$ .

Решение:

Распишем $n!$ через рекуррентную формулу относительно $(n - 2)!$ :

$n! = (n - 2)! \cdot (n - 1) \cdot n$ .

Подставим в дробь:

$\frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{(n - 2)! \cdot (n - 1) \cdot n}{(n - 2)!} = (n - 1)n = n^2 - n$ .

Ответ: $n(n - 1)$ или $n^2 - n$ .

Пример 2: Комбинаторная задача на составление расписания

Задание: В понедельник в 9 классе 6 уроков: алгебра, геометрия, русский язык, литература, физика и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы физкультура была последним (шестым) уроком?

Решение:

1) Позиция 6-го урока жестко зафиксирована (физкультура).
2) На первые 5 уроков можно в произвольном порядке переставить оставшиеся 5 предметов.
3) Число способов переставить 5 предметов равно количеству перестановок $P_5$ :

$P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$ .

Ответ: 120 способов.

Тренажёры по теме «Перестановки. Факториал» для 9 класса

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Перестановки. Факториал» для 9 класса. Систематические тренировки на нашей платформе помогут научиться быстро производить алгебраические действия с факториалами, свободно решать комбинаторные задачи любой сложности, легко справляться с элементами теории вероятностей на ОГЭ по математике и гарантированно получить высший балл на экзаменах!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Перестановки. Факториал» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте отличных результатов вместе с нами!