Серия испытаний Бернулли: формула, численные успехи и задания

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Серия испытаний Бернулли» для учащихся 9 класса по предмету «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео подготовили этот систематизированный справочник, чтобы помочь школьникам освоить одну из самых важных моделей теории вероятностей, научиться рассчитывать вероятность ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях, понять структуру элементарных событий и успешно подготовиться к проверочным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

В жизни мы часто повторяем одно и то же действие несколько раз подряд: бросаем монету, стреляем по мишени, отвечать на вопросы теста с вариантами ответов или проверяем качество деталей на конвейере. Если условия каждого эксперимента остаются неизменными, а результат каждого шага не зависит от предыдущих, мы имеем дело с классической математической моделью — серией независимых испытаний Бернулли.

Что такое испытания Бернулли?

Испытания Бернулли — это серия из $n$ независимых опытов, в каждом из которых возможны ровно два исхода: «успех» (У) или «неудача» (Н).

• Вероятность успеха в каждом единичном испытании постоянна и равна $p$ .

• Вероятность неудачи равна $q = 1 - p$ .

Элементарные события в серии испытаний Бернулли

Каждое элементарное событие в серии из $n$ испытаний Бернулли представляет собой последовательность из $n$ букв У («успех») и Н («неудача»).

Например, в серии из 3 испытаний запись УНУ означает: 1-е испытание — успех, 2-е — неудача, 3-е — успех.

Число элементарных событий 🔢

Общее количество возможных элементарных исходов в серии из $n$ испытаний выражается формулой:

N = 2^n

Для $n = 3$ исходов будет $2^3 = 8$ :

(УУУ, УУН, УНУ, УНН, НУУ, НУН, ННУ, ННН).

Вероятность конкретного исхода 🎯

Вероятность любой конкретной комбинации, содержащей $k$ успехов и $(n - k)$ неудач, по правилу умножения равна:

P(\text{исхода}) = p^k \cdot q^{n - k}

Порядок чередования успехов и неудач на значение этой вероятности не влияет.

Формула Бернулли: Число успехов в серии

Чаще всего нас интересует не порядок наступления результатов, а общее **число успехов $k$ ** в серии из $n$ испытаний.

Поскольку получить ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях можно различными способами, число таких благоприятных элементарных комбинаций равно числу сочетаний из $n$ по $k$ : $C_n^k$ .

Классическая формула Бернулли:

Вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний Бернулли событие «успех» наступит ровно $k$ раз:

P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}

где:

• $n$ — общее количество испытаний;

• $k$ — количество успехов ( $0 \le k \le n$ );

• $p$ — вероятность успеха в одном опыте;

• $q = 1 - p$ — вероятность неудачи;

• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ — число сочетаний.

Наиболее вероятное число успехов в серии Бернулли

Значение $k_0$ , при котором вероятность $P_n(k)$ достигает своего максимума, называется наиболее вероятным числом успехов (или наивероятнейшим числом).

Оно удовлетворяет двойному неравенству:

n \cdot p - q \le k_0 \le n \cdot p + p

Длина этого интервала равна $(n \cdot p + p) - (n \cdot p - q) = p + q = 1$ . Поэтому наиболее вероятное число успехов либо определяется единственным образом (целое число внутри отрезка), либо состоит из двух соседних целых чисел.

Порядок действий: Алгоритм решения задач по формуле Бернулли

Чтобы безошибочно вычислить вероятность событий в серии испытаний Бернулли, соблюдайте следующую инструкцию:

Порядок действий

Определите ключевые параметры задачи:

• Выпишите общее число испытаний $n$ .

• Найдите вероятность успеха $p$ в одном опыте и вычислите вероятность неудачи $q = 1 - p$ .

• Уточните нужное число успехов $k$ .

**Найдите число сочетаний $C_n^k$ :** посчитайте, сколькими способами можно выбрать $k$ позиций из $n$ :

Подставьте все значения в формулу Бернулли:

Проведите вычисления и округлите результат: перемножьте полученные значения и запишите итоговую вероятность в виде десятичной дроби.

Типичные ошибки при решении задач на серию Бернулли

При решении задач на схему Бернулли девятиклассники чаще всего допускают следующие ошибки:

Ошибка 1: Потеря коэффициента Cₙᵏ ❌

Умножать лишь $p^k \cdot q^{n-k}$ без учёта числа сочетаний. Помните: $p^k \cdot q^{n-k}$ — это вероятность только одного конкретного исхода, а благоприятных исходов с $k$ успехами ровно $C_n^k$ штук!

Ошибка 2: Применение Бернулли к зависимым опытам ❌

Применять формулу к выбору без возвращения (например, вытаскивание шаров из урны без возврата). Схема Бернулли работает только при условии постоянства вероятности p в каждом опыте!

Практические упражнения для 9 класса

Закрепите теоретический материал, выполнив комплект практических задач по вероятности и статистике.

Упражнение 1. Вычисление вероятности ровно k успехов

Задание: Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Подробное решение:

1) Параметры испытания: $n = 5$ бросков, $k = 3$ успехов.

2) Вероятность успеха (выпадения орла) $p = 0{,}5$ , неудачи $q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$ .

3) Число сочетаний из 5 по 3:

C_5^3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10

4) По формуле Бернулли:

P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot (0{,}5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0{,}3125

Ответ: 0,3125 (или 31,25%).

Упражнение 2. Нахождение наиболее вероятного числа успехов

Задание: Стрелок делает 8 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0{,}7$ . Найдите наиболее вероятное число попаданий.

Подробное решение:

1) Дано: $n = 8$ , $p = 0{,}7$ , $q = 0{,}3$ .

2) Составляем двойное неравенство для наивероятнейшего числа успехов $k_0$ :

n \cdot p - q \le k_0 \le n \cdot p + p

8 \cdot 0{,}7 - 0{,}3 \le k_0 \le 8 \cdot 0{,}7 + 0{,}7

5{,}6 - 0{,}3 \le k_0 \le 5{,}6 + 0{,}7

5{,}3 \le k_0 \le 6{,}3

3) Единственное целое число в интервале $[5{,}3; \, 6{,}3]$ — это $k_0 = 6$ .

Ответ: 6 попаданий.

Упражнение 3. Задание формата ОГЭ по математике

Задание: Вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной, равна $0{,}1$ . Для контроля случайно отбирают 4 детали. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно 1 бракованная деталь?

Подробное решение:

1) «Успех» — деталь бракованная: $p = 0{,}1$ .

2) «Неудача» — деталь качественная: $q = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$ .

3) Всего деталей $n = 4$ , нужно найти $k = 1$ .

4) Число сочетаний $C_4^1 = 4$ .

5) Применяем формулу Бернулли:

P_4(1) = C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^{4-1} = 4 \cdot (0{,}1)^1 \cdot (0{,}9)^3 = 4 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}729 = 0{,}2916

Ответ: 0,2916.

Тренажёры по теме «Серия испытаний Бернулли» для 9 класса

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлены проверочные задания и интерактивные тренажёры по теме «Серия испытаний Бернулли» для 9 класса. Систематические тренировки на нашей платформе помогут довести до автоматизма умение рассчитывать вероятности событий по формуле Бернулли, находить наиболее вероятное число успехов, без труда решать вероятностные задачи ОГЭ по математике и получать высшие баллы на экзаменах!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Серия испытаний Бернулли» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и получайте отличные оценки за проверочные работы по вероятности и статистике!