Серия испытаний до первого успеха: распределение, формулы и тренажёры

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Серия испытаний до первого успеха» для учащихся 9 класса по предмету «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео подготовили этот практический справочник, чтобы помочь школьникам освоить модель геометрического распределения, научиться рассчитывать вероятность наступления первого успеха на конкретно заданном шаге, понять широту применения этой модели в реальной жизни и успешно подготовиться к проверочным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ситуациями, когда пробуем делать что-то снова и снова, пока не достигнем желаемого результата: отправляем резюме на вакансии, сдаём экзамен на получение водительских прав, ищем нужный ключ на связке или пытаемся забить гол со штрафного. Математическая модель, описывающая такие процессы, называется серией независимых испытаний до первого успеха.

Серия испытаний до первого успеха

Что такое серия испытаний до первого успеха?

Серия испытаний до первого успеха — это последовательность независимых испытаний Бернулли, которая завершается сразу же, как только впервые наступает благоприятное событие («успех»).

• Вероятность успеха в одном испытании обозначается $p$ .

• Вероятность неудачи равна $q = 1 - p$ .

Математическая формула вероятности

Пусть событие состоит в том, что первый успех наступит строго на $k$ -м испытании. Это означает, что первые $(k - 1)$ испытаний завершились неудачей, а последнее, $k$ -е испытание — успехом.

Поскольку испытания независимы, вероятности перемножаются по правилу умножения вероятностей:

Формула первого успеха на k-м шаге 🎯

Вероятность того, что первый успех произойдёт ровно на $k$ -м испытании:

P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} \cdot p = q^{k - 1} \cdot p

где:

• $p$ — вероятность успеха в одной попытке;

• $q = 1 - p$ — вероятность неудачи;

• $k$ — номер попытки, на которой произошёл успех ( $k = 1, 2, 3, \dots$ ).

Формула успеха НЕ ПОЗДНЕЕ k-го шага 📈

Вероятность того, что успех наступит хотя бы в одной из первых $k$ попыток (на 1, 2, ... или $k$ -м шаге):

P(X \le k) = 1 - q^k = 1 - (1 - p)^k

Смысл: вычитаем из единицы вероятность того, что все $k$ попыток окажутся неудачными.

Распределение вероятностей числа испытаний до первого успеха называются в математике геометрическим распределением, потому что последовательность вероятностей $p, \, qp, \, q^2 p, \, q^3 p, \dots$ образует убывающую геометрическую прогрессию.

Примеры применения серии испытаний до первого успеха в реальной жизни

Модель серии испытаний до первого успеха активно применяется в самых разных сферах профессиональной деятельности и повседневной жизни:

Поиск работы и собеседования

Если вероятность получить оффер после одного собеседования составляет 20% ( $p = 0{,}2$ ), соискатель продолжает проходить интервью, пока не получит первое предложение о работе.

Кибербезопасность и IT

Системы защиты от подбора паролей (Brute Force) высчитывают, за сколько попыток злоумышленник может угадать комбинацию, и блокируют доступ после 3–5 неудач подряд.

Медицина и ЭКО

При проведении курса лечения или процедур искусственного оплодотворения врачи рассчитывают кумулятивную вероятность наступления беременности за $k$ попыток.

Спорт и тренировки

Баскетболист бросает штрафные броски до первого попадания. Тренер оценивает среднее число попыток, необходимое спортсмену для успешного броска.

Геологоразведка

Бурение скважин в поисках нефти. Каждая скважина стоит дорого, поэтому нефтяные компании рассчитывают вероятность обнаружить месторождение с $1, 2, \dots, k$ попыток.

Порядок действий: Пошаговый алгоритм решения задач

Чтобы безошибочно решить любую задачу на серию испытаний до первого успеха, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий

**Найдите вероятность успеха в одной попытке ( $p$ ):** внимательно прочитайте условие и запишите значение $p$ .

**Вычислите вероятность неудачи ( $q$ ):** найдите противоположное событие по формуле:

Определите тип вопроса:

• Спрашивается вероятность первого успеха **ровно на $k$ -м шаге**? Используйте формулу:

• Спрашивается вероятность успеха **не позднее $k$ -го шага** (в первых $k$ попытках)? Используйте формулу противоположного события:

Выполните вычисления: подставьте числа в формулу и запишите итоговый ответ в виде десятичной дроби или процента.

Типичные ошибки в расчете серии испытаний до первого успеха

При решении задач на испытания до первого успеха девятиклассники чаще всего допускают следующие ошибки:

Ошибка 1: Неверная степень у неудачи ❌

Использование формулы $q^k \cdot p$ вместо $q^{k-1} \cdot p$ . Помните: если успех произошёл на $k$ -м шаге, то неудач было ровно $(k - 1)$ штука, а не $k$ !

Ошибка 2: Путаница ровно на k-м и не позднее k-го ❌

Считать вероятность успеха в первых трёх попытках по формуле для третьей попытки. Фраза «в первых 3 попытках» означает: успех на 1-й ИЛИ 2-й ИЛИ 3-й попытке!

Практические упражнения для 9 класса

Закрепите теоретический материал, выполнив комплекс практических задач по вероятности и статистике.

Упражнение 1. Расчёт вероятности первого успеха на заданном шаге

Задание: Стрелок делает выстрелы по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$ . Найдите вероятность того, что стрелку потребуется ровно 3 выстрела.

Подробное решение:

1) Вероятность успеха (попадания) при одном выстреле:

$$
p = 0{,}7
$$

2) Вероятность неудачи (промаха):

$$
q = 1 - p = 1 - 0{,}7 = 0{,}3
$$

3) Требуется найти вероятность события «первый промах, второй промах, третье попадание» ( $k = 3$ ):

$$
P(X = 3) = q^{3-1} \cdot p = q^2 \cdot p = (0{,}3)^2 \cdot 0{,}7 = 0{,}09 \cdot 0{,}7 = 0{,}063
$$

Ответ: 0,063.

Упражнение 2. Вероятность наступления успеха в пределах нескольких попыток

Задание: Соискатель проходит собеседования. Вероятность получить приглашение на работу на каждом собеседовании равна $0{,}2$ . Какова вероятность того, что соискатель получит работу, пройдя не более 3 собеседований?

Подробное решение:

1) Дано: $p = 0{,}2$ — вероятность успеха, $q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ — вероятность неудачи.

2) Используем формулу вероятности успеха не позднее $k = 3$ попыток:

P(X \le 3) = 1 - q^3 = 1 - (0{,}8)^3 = 1 - 0{,}512 = 0{,}488

Или способом сложения вероятностей успехов на 1-м, 2-м и 3-м шагах:

• 1-й шаг: $p = 0{,}2$

• 2-й шаг: $q \cdot p = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16$

• 3-й шаг: $q^2 \cdot p = (0{,}8)^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}128$

Сумма: $0{,}2 + 0{,}16 + 0{,}128 = 0{,}488$ (48,8%).

Ответ: 0,488.

Упражнение 3. Задание формата ОГЭ по математике

Задание: Игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Найдите вероятность того, что потребуется ровно 2 броска. Ответ округлите до сотых.

Подробное решение:

1) Вероятность выпадения шестёрки при одном броске:

p = \frac{1}{6}

2) Вероятность выпадения любой другой грани (неудача):

q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

3) Первый успех на 2-м броске ( $k = 2$ ) означает, что при 1-м броске шестёрка не выпала, а при 2-м броске выпала:

P(X = 2) = q \cdot p = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx 0{,}1388\dots \approx 0{,}14

Ответ: 0,14.

Тренажёры по теме «Серия испытаний до первого успеха» для 9 класса

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлены проверочные задания и интерактивные тренажёры по теме «Серия испытаний до первого успеха» для 9 класса. Систематическая практика на нашей платформе поможет довести до автоматизма умение рассчитывать вероятности по формулам геометрического распределения, легко справляться с задачами блока «Вероятность и статистика» на ОГЭ по математике и получать высшие баллы на экзаменах!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Серия испытаний до первого успеха» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и получайте отличные оценки за проверочные работы по вероятности и статистике!