МатематикаЕГЭ математика

Объёмы и площади всех фигур стереометрии ЕГЭ по математике

Полное собрание всех формул всех геометрических фигур, которые могут быть на ЕГЭ по математике профильного и базового уровня

Карта темы

На этой странице собраны абсолютно все формулы объёмов, площадей боковой и полной поверхностей пространственных фигур, необходимые для успешного решения Задания 3 (База и Профиль) и Задания 13 (стереометрия второй части) ЕГЭ по математике. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео систематизировали весь теоретический материал по многогранникам и телам вращения, чтобы вы могли быстро освежить знания перед экзаменом и не допускать вычислительных ошибок.

Понятия объёма и площадей поверхностей в стереометрии

Прежде чем переходить к изучению конкретных пространственных тел, важно чётко понимать физический и геометрический смысл ключевых стереометрических величин:

1. Объём геометрического тела ( $V$ ):
Это количественная характеристика пространства, занимаемого геометрическим телом. В базовых единицах объём измеряется в кубических единицах ( $\text{см}^3$ , $\text{м}^3$ ). Для призматических фигур он равен произведению площади основания на высоту ( $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ ), а для фигур, сходящихся в одну вершину (пирамида, конус), равен трети этого произведения ( $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$ ).

2. Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ):
Это суммарная площадь всех граней или поверхностей геометрического тела, исключая его основания. Для призмы или цилиндра боковая поверхность разворачивается в прямоугольник, а для правильной пирамиды состоит из равных треугольников-граней.

3. Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ):
Это полная площадь внешней границы тела, складывающаяся из площади боковой поверхности и площадей всех его оснований:
$$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + N \cdot S_{\text{осн}}$$
где $N$ — количество оснований ( $N = 2$ для призмы и цилиндра, $N = 1$ для пирамиды и конуса).

Справочник пространственных фигур и формул

Куб

Правильный многогранник, у которого все шесть граней являются равными квадратами со стороной $a$ . Диагональ куба равна $d = a\sqrt{3}$ .

Объём ( $V$ ) 📦

V = a^3

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = 4a^2

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = 6a^2

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед, у которого все 6 граней являются прямоугольниками с линейными измерениями $a, b, c$ . Диагональ связана измерениями соотношением $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ .

Объём ( $V$ ) 📦

V = a \cdot b \cdot c

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = 2(a + b)c = P_{\text{осн}} \cdot h

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)

Прямая призма

Многогранник, у которого две грани (основания) являются равными $n$ -угольниками, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте $h$ .

Объём ( $V$ ) 📦

V = S_{\text{осн}} \cdot h

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}

Наклонная призма

Призма, у которой боковые рёбра длины $l$ наклонены к плоскости основания под углом, отличным от $90^\circ$ . $S_{\text{пер.сеч}}$ и $P_{\text{пер.сеч}}$ — параметры сечения, перпендикулярного боковым рёбрам.

Объём ( $V$ ) 📦

V = S_{\text{осн}} \cdot h = S_{\text{пер.сеч}} \cdot l

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = P_{\text{пер.сеч}} \cdot l

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}

Произвольная пирамида

Многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Высота $h$ — перпендикуляр из вершины к основанию.

Объём ( $V$ ) 📦

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = \sum S_{\triangle \text{граней}}

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}

Правильная пирамида

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Высота боковой грани называется апофемой $L$ .

Объём ( $V$ ) 📦

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot L

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}

Правильный тетраэдр

Треугольная пирамида, у которой абсолютно все четыре грани являются равными равносторонними треугольниками со стороной $a$ . Высота равна $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Объём ( $V$ ) 📦

V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = \dfrac{3a^2 \sqrt{3}}{4}

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = a^2 \sqrt{3}

Цилиндр

Тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. В основаниях лежат равные круги радиуса $R$ , а образующая равна высоте $h$ .

Объём ( $V$ ) 📦

V = \pi R^2 h

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = 2\pi R h

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = 2\pi Rh + 2\pi R^2

Конус

Тело вращения, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. $R$ — радиус основания, $h$ — высота, $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ — образующая.

Объём ( $V$ ) 📦

V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = \pi R l

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2

Усечённый конус

Часть конуса, заключённая между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. $R_1, R_2$ — радиусы оснований, $l$ — образующая.

Объём ( $V$ ) 📦

V = \dfrac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + \pi R_1^2 + \pi R_2^2

Шар и Сфера

Сфера — замкнутая поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии $R$ от центра. Шар — тело, ограниченное сферой.

Объём ( $V$ ) 📦

V = \dfrac{4}{3} \pi R^3

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

У сферы отсутствует боковая поверхность

Площадь поверхности сферы ( $S_{\text{сферы}}$ ) 📊

S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2

Шаровой сегмент

Часть шара, отсекаемая от него плоскостью. $h$ — высота сегмента, $R$ — радиус шара, $r_{\text{осн}}$ — радиус круга в основании сегмента.

Объём ( $V$ ) 📦

V = \pi h^2 \left(R - \dfrac{h}{3}\right)

Сферическая поверхность ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

S_{\text{сегм}} = 2\pi R h

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = 2\pi Rh + \pi r_{\text{осн}}^2

Шаровой сектор

Часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара. $h$ — высота соответствующего сегмента.

Объём ( $V$ ) 📦

V = \dfrac{2}{3} \pi R^2 h

Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) 📐

Отсутствует отдельное деление

Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) 📊

S_{\text{полн}} = \pi R (2h + r_{\text{осн}})

Лайфхаки для Задания 3 профильного ЕГЭ! 💡

1. Подобие пространственных тел:
• Если все линейные размеры тела (рёбра, радиус, высота) увеличить в $k$ раз, то площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз, а объём увеличится в $k^3$ раз!
Пример: Если ребро куба увеличить в 3 раза, то площадь поверхности увеличится в $3^2 = 9$ раз, а объём — в $3^3 = 27$ раз.
2. Шар в цилиндре (Описанный цилиндр):
• Если шар радиуса $R$ вписан в цилиндр, то высота цилиндра $h = 2R$ .
• Объём цилиндра $V_{\text{цил}} = 1{,}5 \cdot V_{\text{шара}}$ .
• Площадь полной поверхности цилиндра в точности равна $1{,}5 \cdot S_{\text{сферы}}$ .

Пошаговый алгоритм решения стереометрических задач

При решении Задания 3 или Задания 13 профильного ЕГЭ по математике придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип фигуры и формулу: установите, является ли фигура призматической ( $V = S \cdot h$ ), заострённой ( $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$ ) или телом вращения.

Найдите элемент основания и высоту: выделите отдельно плоскую фигуру основания (треугольник, квадрат, шестиугольник, круг) и рассчитайте её площадь $S_{\text{осн}}$ .

Вычислите объем или площадь: подставьте полученные значения в соответствующую формулу, обращая внимание на число $\pi$ (если ответ требует его сокращения) и запишите число.

Разбор типовых задач Задания 3 ЕГЭ по математике

Рассмотрите решения прототипов задач из открытого банка ФИПИ.

Пример 1: Объём составного тела и усечённой пирамиды (Задание 3)

Задание: Во сколько раз уменьшится объём правильной треугольной пирамиды, если её высоту уменьшить в $2$ раза, а все стороны основания уменьшить в $3$ раза?

Подробное решение:

1) Запишем формулу объёма исходной пирамиды: $V_1 = \dfrac{1}{3} S_1 h_1$ .

2) Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ .
Если стороны основания уменьшить в $3$ раза, то площадь основания уменьшится в $3^2 = 9$ раз: $S_2 = \dfrac{S_1}{9}$ .

3) Высота уменьшилась в $2$ раза: $h_2 = \dfrac{h_1}{2}$ .

4) Запишем объём новой пирамиды $V_2$ :
$$V_2 = \dfrac{1}{3} S_2 h_2 = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{S_1}{9}\right) \cdot \left(\dfrac{h_1}{2}\right) = \dfrac{1}{18} \cdot \left(\dfrac{1}{3} S_1 h_1\right) = \dfrac{V_1}{18}$$

5) Объём уменьшился в $18$ раз.

Ответ: $18$ .

Пример 2: Отношение объёмов при переливании жидкости в цилиндре

Задание: В цилиндрический сосуд налили $2000\text{ см}^3$ воды. Уровень жидкости составляет $16\text{ см}$ . В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень воды в сосуде поднялся на $4\text{ см}$ . Найдите объём детали.

Подробное решение:

1) По закону Архимеда объём вытесненной воды равен объёму погружённой детали.

2) Объём цилиндра вычисляется как $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ . Поскольку площадь основания сосуда $S_{\text{осн}}$ остаётся постоянной, объём налитой жидкости прямо пропорционален её высоте $h$ .

3) Высоте $16\text{ см}$ соответствует объём воды $2000\text{ см}^3$ .
Подъёму уровня воды на $\Delta h = 4\text{ см}$ соответствует объём детали $V_{\text{дет}}$ .

4) Составим пропорцию:
$$\dfrac{V_{\text{дет}}}{2000} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \implies V_{\text{дет}} = \dfrac{2000}{4} = 500\text{ см}^3$$

Ответ: $500$ .

Тренажёры по теме «Объёмы и площади фигур» на Экзамео

Отработайте вычисление объёмов и площадей поверхностей стереометрических тел с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов Задания 3 и Задания 13 профильного и базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ.

Интерактивная система проверяет полученные числовые ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с визуальными 3D-чертежами к каждой задаче. Занимайтесь на Экзамео в удобном ритме, повторяйте формулы и гарантированно забирайте высшие баллы на ЕГЭ!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы