Предел функции в точке и непрерывность — 10 класс, теория и примеры

На этой странице собрана полная теория, определения и типовые задачи на предел функции в точке из школьного курса алгебры и начал анализа за 10 класс, самостоятельных работ и экзаменационных банков заданий. Вы узнаете, что такое предел функции в точке, как связаны предел и непрерывность, разберёте определение по Коши на языке $\varepsilon$ и $\delta$ , свойства пределов и признаки непрерывности, а также сможете закрепить навык в онлайн-тренажёре с пошаговой проверкой ответов.

Приступая к пределу функции в точке, важно понять его ключевую идею: нас интересует поведение функции вблизи точки, а не её значение в самой точке. Функция может быть не определена в точке $a$ — предел при этом может существовать. Именно эта идея лежит в основе понятия непрерывности и производной. Так же важно отметить, что именно через предел вводится понятие производной

Определение предела функции в точке по Коши

Число b называется пределом функции f(x) в точке a(или при $x \to a$ ), если для любого сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$ , что для всех $x$ , удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$ , выполняется неравенство $|f(x) - b| < \varepsilon$ .

Обозначение:

\lim_{x \to a} f(x) = b

Важно: условие $0 < |x - a|$ означает, что сама точка $a$ исключается из рассмотрения.

Понимаем, что из определения по Коши в 10 классе можно понять ровно ничего, поэтому давайте рассмотрим определение предела простым языком.

Что такое предел функции в точке

Предел функции в точке — это число, к которому неограниченно приближаются значения функции, когда аргумент приближается к заданной точке, но не совпадает с ней.

В отличии от простой подстановки: предел описывает поведение функции вблизи точки, а не её значение в самой точке

Рассмотрим классический пример: функцию $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ в точке $x = 1$ . В самой точке $x = 1$ функция не определена (деление на ноль), но при $x \to 1$ значения функции стремятся к $2$ . Значит, $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ .

Этот пример показывает главное: для существования предела в точке функция не обязана быть определена в самой точке. Достаточно, чтобы она была определена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Свойства пределов функции

Свойства пределов позволяют вычислять сложные пределы, не прибегая каждый раз к определению. Эти правила изучаются в алгебре 10 класса и активно используются в самостоятельных работах.

Свойство

Формула

Предел суммы

$\lim (f + g) = \lim f + \lim g$

Предел произведения

$\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$

Предел частного

$\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g}$ , если $\lim g \neq 0$

Предел постоянной

$\lim C = C$

Предел степенной функции

$\lim x^n = a^n$

Функция, непрерывная в точке

Функция называется непрерывной в точке $a$ , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Это означает одновременное выполнение трёх условий:

Определена в точке

Функция $f(x)$ определена в точке $a$ .

Существует предел

Предел $\lim_{x \to a} f(x)$ существует и конечен.

Предел равен значению

Предел совпадает со значением функции: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Связь предела и непрерывности:

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда её предел в этой точке существует и равен значению функции. Именно поэтому непрерывность — это «хорошее поведение» графика без разрывов.

Непрерывная функция и функция с точкой разрыва

Примеры решения задач на предел и непрерывность

Понимание пределов необходимо для изучения производной, которая встречается в ЕГЭ по математике профильного и базового уровня, поэтому рассмотрим подробные решения типовых задач на предел функции формата самостоятельных работ в 10 классе.

Задача: вычисление предела функции в точке

Условие: Вычислите предел $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Пошаговое решение:

1) При подстановке $x = 3$ получаем неопределённость вида $\dfrac{0}{0}$ .

2) Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

3) Сократим дробь на $(x - 3)$ при условии $x \neq 3$ :

\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3

4) Вычислим предел:

\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6

Ответ: 6.

Задача: проверка непрерывности функции в точке

Условие: Исследуйте на непрерывность в точке $x = 2$ функцию:

f(x) = \begin{cases} x^2, &amp; x \neq 2 \\ 5, &amp; x = 2 \end{cases}

Пошаговое решение:

1) Найдём предел функции при $x \to 2$ :

\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} x^2 = 4

2) Найдём значение функции в точке $x = 2$ :

f(2) = 5

3) Сравним предел и значение функции:

\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq 5 = f(2)

Предел существует, но не равен значению функции в точке.

Ответ: функция имеет разрыв в точке $x = 2$ .

Ошибки при решении задач на предел и непрерывность

При вычислении пределов и проверке непрерывности ученики 10 класса чаще всего допускают следующие ошибки:

Путают предел и значение функции

Считают, что для нахождения предела достаточно подставить точку в функцию. Это работает только для непрерывных функций. При неопределённости $\dfrac{0}{0}$ нужно преобразовывать выражение.

Забывают про условие равенства предела значению

При проверке непрерывности находят только предел, но не сравнивают его со значением функции в точке. Непрерывность требует выполнения всех трёх условий одновременно.

Задачи на предел функции с решениями

Задания на вычисление предела функции в точке, раскрытие неопределённостей и проверку непрерывности собраны ниже для подготовки к самостоятельным и контрольным работам по алгебре в 10 классе. В каждом задании вы найдёте подробное пошаговое решение и проверку ответов, а интерактивный тренажёр поможет довести навык работы с пределами до автоматизма.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы