Определение числовой функции и способы её задания

Пошаговое решение:

1) Аналитическое выражение содержит квадратный корень в числителе и переменную в знаменателе. Составим систему условий:

2) Решим первое квадратное неравенство:
Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.
Разложим квадратный трёхчлен на множители:

3) Решим второе условие:

4) Исключим точку $x = 7$ из найденных числовых промежутков:

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [5; 7) \cup (7; +\infty)$.

Пошаговое решение:

1) Уравнение 1 ($y^2 - x = 0 \implies y^2 = x$):
При $x = 4$ получаем $y^2 = 4 \implies y = 2$ или $y = -2$. Одному значению аргумента $x = 4$ соответствуют два различных значения $y$. Нарушается условие однозначности (вертикальная прямая $x = 4$ пересекает параболу, лежащую на боку, в двух точках).
Вывод: не является функцией.

2) Уравнение 2 ($y - x^2 = 0 \implies y = x^2$):
Для каждого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ вычисляется единственным образом. Любая вертикальная прямая пересекает параболу ровно в одной точке.
Вывод: является числовой функцией.

3) Уравнение 3 ($|y| = x$):
При $x = 3$ получаем $|y| = 3 \implies y = 3$ или $y = -3$. Значению аргумента $x = 3$ соответствуют два значения $y$. Условие однозначности не выполняется.
Вывод: не является функцией.

Ответ: 1) не является; 2) является; 3) не является.

Пошаговое решение:

1) Для функции $f(x) = x^2 - 6x + 13$:
Выделим полный квадрат двучлена:

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($(x - 3)^2 \ge 0$), то:

Наименьшее значение функции равно $4$ (достигается при $x = 3$), а ветви параболы направлены вверх.
Следовательно: $E(f) = [4; +\infty)$.

2) Для функции $g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$:
Оценим знаменатель: так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 2 \ge 2$.
Так как знаменатель положителен и не меньше $2$, то дробь принимает максимальное значение при минимальном знаменателе:

С другой стороны, при неограниченном росте $x$ знаменатель стремится к бесконечности, а сама дробь стремится к $0$, оставаясь строго положительной: $g(x) > 0$.
Следовательно: $E(g) = (0; 0{,}5]$.

Ответ: 1) $E(f) = [4; +\infty)$; 2) $E(g) = (0; 0{,}5]$.

Пошаговое решение:

1) Для $x = -3$:
Число $-3 < -1$, поэтому используем первую ветку формулы:
$f(-3) = 3 - 2 \cdot (-3) = 3 + 6 = 9$.

2) Для $x = -1$:
Число попадает в промежуток $[-1; 2]$, используем вторую ветку формулы:
$f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

3) Для $x = 0$:
Число лежит в промежутке $[-1; 2]$, считаем по второй ветке:
$f(0) = 0^2 + 1 = 1$.

4) Для $x = 2$:
Точка $x = 2$ включена во вторую ветку формулы:
$f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

5) Для $x = 5$:
Число $5 > 2$, используем третью постоянную ветку:
$f(5) = 7$.

Ответ: $f(-3) = 9$; $f(-1) = 2$; $f(0) = 1$; $f(2) = 5$; $f(5) = 7$.

Пошаговое решение:

1) Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $x$ метрам. Периметр прямоугольника равен $P = 2(x + y) = 40\text{ м}$, откуда полупериметр $x + y = 20\text{ м}$.
Выразим вторую сторону: $y = 20 - x$.

2) Составим формулу площади $S(x)$ как функцию от стороны $x$:

3) Определим область определения $D(S)$ по геометрическому смыслу задачи:
Длины обеих сторон прямоугольника обязаны быть строго положительными:
• $x > 0$;
• $20 - x > 0 \implies x < 20$.
Следовательно: $D(S) = (0; 20)$.

4) Найдём значение $x$, при котором площадь максимальна:
График функции $S(x) = -x^2 + 20x$ — квадратичная парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -1 < 0$). Максимальное значение достигается в вершине параболы:

При $x = 10\text{ м}$ вторая сторона также равна $y = 20 - 10 = 10\text{ м}$ (участок является квадратом), а площадь достигает максимума: $S_{\text{макс}} = 10 \cdot 10 = 100\text{ м}^2$.

Ответ: $S(x) = 20x - x^2$; $D(S) = (0; 20)$; площадь максимальна при $x = 10\text{ м}$.