Скрещивающиеся прямые (10 класс): определение, признак, угол и расстояние

В этом разделе подробно рассматривается тема «Скрещивающиеся прямые» по стереометрии за 10 класс. В отличие от планиметрии, где две прямые на плоскости могут только пересекаться или быть параллельными, скрещивающиеся прямые в пространстве представляют собой принципиально новое взаимное расположение прямых. Умение распознавать скрещивающиеся прямые, находить угол между ними и вычислять расстояние между ними лежит в основе стереометрии 10 класса и необходимо для успешного решения Задания 2 и Задания 14 профильного ЕГЭ по математике.

Здесь представлена вся фундаментальная теория: строгое математическое определение скрещивающихся прямых, их специальный знак и обозначение, основной признак скрещивающихся прямых, теорема о плоскости, проходящей через одну из прямых параллельно другой, алгоритмы нахождения угла и общего перпендикуляра на примере многогранников (в кубе и пирамиде), а также подробный разбор задач из школьной программы.

Отработать тему скрещивающиеся прямые в стереометрии можно после изучения теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Определение и обозначение скрещивающихся прямых

В пространстве через любые две пересекающиеся или две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Для скрещивающихся прямых такой плоскости не существует.

Скрещивающиеся прямые: определение 🎯

Скрещивающимися прямыми называются две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

a \mathrel{-\cdot-} b \quad \text{или} \quad a \mathrel{\dot{-}} b

Знак и обозначение: для скрещивающихся прямых в геометрии используется специальный символ $\mathrel{-\cdot-}$ (дефис с точкой посередине или над чертой). Запись $a \mathrel{-\cdot-} b$ читается: «прямая $a$ скрещивается с прямой $b$ ».

Место под иллюстрацию: чертёж двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ в пространстве с секущей плоскостью и обозначением $a \mathrel{-\cdot-} b$ .

Признак скрещивающихся прямых

Чтобы доказать, что прямые скрещиваются, на практике не нужно проверять все возможные плоскости пространства. Достаточно воспользоваться удобным признаком:

Теорема: Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти две прямые скрещиваются:

a \subset \alpha, \quad b \cap \alpha = M, \quad M \notin a \implies a \mathrel{-\cdot-} b

Теорема о параллельной плоскости

С признаком тесно связана фундаментальная теорема о существовании параллельной плоскости для пары скрещивающихся прямых:

Теорема о параллельной плоскости 📐

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Если через обе скрещивающиеся прямые провести такие параллельные плоскости, то расстояние между этими параллельными плоскостями будет в точности равно расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми

В пространстве для скрещивающихся прямых определены две ключевые метрические характеристики:

Понятие

Определение

Способ нахождения на практике

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся ( $0^\circ < \phi \le 90^\circ$ ).

Выполняем параллельный перенос одной из прямых до пересечения со второй в одной точке многогранника.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина их общего перпендикуляра (отрезка с концами на прямых, перпендикулярного каждой из них).

1. Строим общий перпендикуляр напрямую.
2. Ищем расстояние от одной прямой до параллельной плоскости, содержащей вторую прямую.

Место под иллюстрацию: схема параллельного переноса прямой $b$ в положение $b_1$ через точку на прямой $a$ , угол $\phi$ , и отрезок общего перпендикуляра $PQ \perp a, PQ \perp b$ .

Скрещивающиеся прямые в кубе

Большинство задач в 10 классе и на экзаменах посвящено поиску углов и расстояний между скрещивающимися рёбрами и диагоналями граней куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ :

Лайфхаки для работы со скрещивающимися прямыми в кубе! 💡

1. Диагонали смежных граней: Если прямые — это скрещивающиеся диагонали граней (например, $A_1B$ и $B_1C$ ), перенесите одну из них параллельно на противоположную грань ( $A_1B \parallel D_1C$ ). Соедините концы отрезков: образуется равносторонний треугольник $\triangle B_1CD_1$ со сторонами, равными диагоналям граней, откуда угол равен ровно $60^\circ$ !

2. Перпендикулярность ребра и скрещивающейся диагонали: Любое вертикальное ребро куба (например, $AA_1$ ) перпендикулярно любой прямой, лежащей в горизонтальной плоскости основания (например, диагонали $BD$ ). Угол между ними всегда равен $90^\circ$ .

3. Общий перпендикуляр в кубе: Расстояние между скрещивающимся ребром основания и не пересекающим его вертикальным боковым ребром равно длине ребра куба.

Место под иллюстрацию: 3D-модель куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с выделенными цветными скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $B_1C$ , а также треугольником $\triangle B_1CD_1$ .

Пошаговый алгоритм нахождения угла между прямыми

При решении стереометрических задач на скрещивающиеся прямые придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Докажите, что прямые скрещиваются: укажите плоскость, содержащую первую прямую, и убедитесь, что вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.

Выполните параллельный перенос: постройте прямую, параллельную одной из данных, так, чтобы она пересекла вторую прямую в удобной вершине многогранника.

Рассчитайте угол из треугольника: замкните полученный угол в треугольник, найдите длины его сторон и вычислите градусную меру угла по теореме косинусов или свойствам равностороннего треугольника.

Разбор типовых задач по стереометрии за 10 класс

Рассмотрите подробные решения характерных стереометрических задач на скрещивающиеся прямые.

Пример 1: Угол между скрещивающимися диагоналями граней куба

Задание: В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $B_1C$ .

Подробное решение:

1) Прямая $A_1B$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$ . Прямая $B_1C$ пересекает эту грань в точке $B_1 \notin A_1B$ . По признаку прямые $A_1B$ и $B_1C$ скрещиваются.

2) Выполним параллельный перенос прямой $A_1B$ :
Так как грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $DCC_1D_1$ , а отрезок $A_1B$ параллелен диагонали $D_1C$ ( $A_1B \parallel D_1C$ ), угол между $A_1B$ и $B_1C$ равен углу между пересекающимися прямыми $D_1C$ и $B_1C$ — углу $\angle B_1CD_1$ .

3) Соединим точки $B_1$ и $D_1$ : рассмотрим треугольник $\triangle B_1CD_1$ .
• Отрезок $B_1C$ — диагональ грани куба со стороной $1$ : $B_1C = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .
• Отрезок $D_1C$ — диагональ грани куба: $D_1C = \sqrt{2}$ .
• Отрезок $B_1D_1$ — диагональ верхней грани куба: $B_1D_1 = \sqrt{2}$ .

4) Треугольник $\triangle B_1CD_1$ равносторонний (все стороны равны $\sqrt{2}$ ). Значит, все его углы равны $60^\circ$ :

\angle B_1CD_1 = 60^\circ

Ответ: $60^\circ$ .

Пример 2: Расстояние между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра

Задание: В правильном тетраэдре $SABC$ с ребром $a = 6$ найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами $SA$ и $BC$ .

Подробное решение:

1) Пусть точка $M$ — середина ребра $BC$ , а точка $N$ — середина скрещивающегося с ним ребра $SA$ .

2) Рассмотрим равносторонние треугольники граней $\triangle SBC$ и $\triangle ABC$ :
• Отрезок $SM$ — медиана и высота в $\triangle SBC$ , следовательно, $SM \perp BC$ .
• Отрезок $AM$ — медиана и высота в $\triangle ABC$ , следовательно, $AM \perp BC$ .

3) Так как прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SM$ и $AM$ плоскости $\triangle SAM$ , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC \perp (SAM)$ . Отсюда $BC \perp MN$ .

4) В равнобедренном треугольнике $\triangle SAM$ ( $SM = AM = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ ) отрезок $MN$ проведён к середине основания $SA$ , значит, $MN \perp SA$ .

5) Отрезок $MN$ перпендикулярен обоим скрещивающимся рёбрам ( $MN \perp BC$ и $MN \perp SA$ ), то есть является их общим перпендикуляром, а его длина равна искомому расстоянию.

6) Из прямоугольного треугольника $\triangle SNM$ ( $\angle SNM = 90^\circ$ , $SN = \dfrac{SA}{2} = 3$ ):

MN = \sqrt{SM^2 - SN^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2} = \sqrt{27 - 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

Ответ: $3\sqrt{2}$ .

Тренажёры по теме «Скрещивающиеся прямые» на Экзамео

Закрепить тему скрещивающиеся прямые 10 класс и подготовиться к решению пространственных задач ЕГЭ помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В нашей базе собраны десятки практических задач на доказательство скрещивания прямых, нахождение углов методом параллельного переноса и векторов, а также вычисление расстояния через общий перпендикуляр и параллельные плоскости в кубах, призмах и пирамидах.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет пошаговые разборы с наглядными 3D-чертежами к каждому упражнению. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, осваивайте основы стереометрии и получайте только отличные оценки по геометрии!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы