Усечённая пирамида 10 класс: определение, формулы площади и объёма и задачи

В этом разделе подробно рассматривается тема «Усечённая пирамида» по стереометрии за 10 класс. Это один из ключевых многогранников курса геометрии 10–11 классов, связывающий свойства подобия пространственных фигур, сечений плоскостями и вычисления объёмов тел. Понимание конструкции усечённой пирамиды необходимо для решения геометрических задач первой части, а также стереометрической задачм по второй части профильного ЕГЭ по математике.

На странице собрали всю теорию по усеченной пирамиде 10 класса: построение секущей плоскостью, параллельной основанию, свойства граней и рёбер, понятия апофемы и высоты, формулы площадей боковой и полной поверхности, вывод формулы объёма через площади оснований, а также детальный разбор типовых задач с чертежами.

Отработать тему усечённая пирамида можно после изучения теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Определение и элементы усечённой пирамиды

Пусть дана произвольная пирамида. Проведём плоскость, параллельную её основанию и пересекающую боковые рёбра. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду у вершины.

Определение усечённой пирамиды 🎯

Усечённая пирамида — это многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.

• Основания: два подобных многоугольника ( $A_1A_2\dots A_n$ и $B_1B_2\dots B_n$ ), лежащих в параллельных плоскостях (нижнее основание $S_1$ и верхнее $S_2$ ).
• Боковые грани: всегда являются трапециями.
• Высота ( $h$ ): общий перпендикуляр, проведённый между плоскостями оснований.
• Боковые рёбра: отрезки, соединяющие соответственные вершины верхнего и нижнего оснований (при продолжении пересекаются в одной точке — вершине исходной пирамиды).

На рисунке пример усеченной пирамиды

Правильная усечённая пирамида

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Свойства правильной усечённой пирамиды:

• Основания — правильные одноимённые многоугольники (равносторонние треугольники, квадраты и т. д.).

• Все боковые грани — равнобедренные трапеции, равные между собой.

• Все боковые рёбра равны между собой и одинаково наклонены к основанию.

• Высота боковой грани (трапеции) называется апофемой правильной усечённой пирамиды ( $l$ ).

Справочник формул: Площади и объём

Сводная таблица расчетных формул для произвольной и правильной усечённой пирамиды:

Величина

Формула

Пояснения к переменным

Объём ( $V$ )

V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)

$h$ — высота, $S_1$ и $S_2$ — площади нижнего и верхнего оснований.

Боковая поверхность (правильная)

S_{\text{бок}} = \dfrac{P_1 + P_2}{2} \cdot l

$P_1, P_2$ — периметры оснований, $l$ — апофема (высота боковой грани).

Боковая поверхность (произвольная)

S_{\text{бок}} = \sum S_{\text{трапеций}}

Сумма площадей всех $n$ боковых граней-трапеций.

Полная поверхность ( $S_{\text{полн}}$ )

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_1 + S_2

Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Стереометрические приёмы и подобие 💡

1. Достраивание до полной пирамиды: Если формулу объёма усечённой пирамиды трудно вспомнить, продолжите боковые рёбра до вершины исходной пирамиды. Объём усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой малой пирамид: $V = V_{\text{бол}} - V_{\text{мал}}$ .

2. Коэффициент подобия ( $k$ ): Верхнее и нижнее основания подобны с коэффициентом $k = \dfrac{a_2}{a_1}$ . Площади оснований относятся как квадрат коэффициента: $\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$ , откуда среднее геометрическое $\sqrt{S_1 S_2} = k \cdot S_1$ .

3. Осевое сечение: Проводите сечение через высоту пирамиды и апофемы противоположных граней — получится равнобедренная трапеция, связывающая высоту пирамиды $h$ , апофему $l$ и радиусы вписанных в основания окружностей ( $r_1, r_2$ ): $l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$ .

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении стереометрических задач на усечённую пирамиду придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Вычислите параметры оснований: найдите площади оснований $S_1, S_2$ и их периметры $P_1, P_2$ через стороны нижнего и верхнего многоугольников.

Найдите линейные элементы из прямоугольных трапеций: выделите сечение, проходящее через высоту $h$ , боковое ребро или апофему $l$ , и примените теорему Пифагора.

Подставьте величины в целевую формулу: вычислите объём по формуле с тремя слагаемыми или площадь поверхности и запишите ответ.

Разбор типовых стереометрических задач за 10 класс

Рассмотрите решения характерных задач по стереометрии на усечённую пирамиду.

Пример 1: Вычисление объёма правильной четырёхугольной усечённой пирамиды

Задание: Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны $6\text{ см}$ и $2\text{ см}$ , а её высота равна $9\text{ см}$ . Найдите объём пирамиды.

Подробное решение:

1) Основаниями правильной четырёхугольной усечённой пирамиды являются квадраты. Найдем площади оснований:

S_1 = 6^2 = 36\text{ см}^2

S_2 = 2^2 = 4\text{ см}^2

2) Вычислим среднее геометрическое площадей оснований:

\sqrt{S_1 \cdot S_2} = \sqrt{36 \cdot 4} = 6 \cdot 2 = 12\text{ см}^2

3) Применим формулу объёма усечённой пирамиды при $h = 9$ :

V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right) = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot (36 + 12 + 4) = 3 \cdot 52 = 156\text{ см}^3

Ответ: $156\text{ см}^3$ .

Пример 2: Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды

Задание: В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны $8\text{ см}$ и $4\text{ см}$ , а апофема равна $5\text{ см}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробное решение:

1) Основания пирамиды — правильные треугольники. Вычислим периметры оснований:

P_1 = 3 \cdot 8 = 24\text{ см}

P_2 = 3 \cdot 4 = 12\text{ см}

2) Воспользуемся формулой площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды через полусумму периметров и апофему ( $l = 5\text{ см}$ ):

S_{\text{бок}} = \dfrac{P_1 + P_2}{2} \cdot l = \dfrac{24 + 12}{2} \cdot 5 = \dfrac{36}{2} \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90\text{ см}^2

(Альтернативно: площадь одной грани-трапеции $S_{\text{гр}} = \dfrac{8 + 4}{2} \cdot 5 = 30$ , умножаем на три грани: $3 \cdot 30 = 90\text{ см}^2$ ).

Ответ: $90\text{ см}^2$ .

Задачи на усеченную пирамиду для 10 класса

Ниже собраны тренажеры по заданиям на усеченную пирамиду с самостоятельных и контрольных работ, а так же из ЕГЭ по математике. Для каждого задания вы найдете подробный разбор и решение, что поможет лучше разобраться в теме.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы