Дифференцирование показательной и логарифмической функций

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций» по алгебре и началам математического анализа для 11 класса. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить правила вычисления производных показательных и логарифмических функций, понять роль числа $e$ и натурального логарифма $\ln x$ , научиться дифференцировать сложные комбинации и уверенно готовиться к контрольным работам и ЕГЭ.

Дифференцирование показательных и логарифмических функций — один из фундаментальных разделов математического анализа в 11 классе. Нахождение производной от этих функций необходимо для исследования поведения графиков, поиска точек экстремума (минимумов и максимумов), а также для решения задач с прототипами Задания 12 профильного ЕГЭ по математике.

Теоретический справочник: таблицы и правила дифференцирования

Ниже приведены фундаментальные формулы дифференцирования показательной и логарифмической функций с различным основанием.

1. Дифференцирование показательной функции

Показательная функция имеет вид $y = a^x$ , где $a > 0, a \neq 1$ .

Формулы производной показательной функции 🎯

• В общем виде (с основанием $a$ ):
$$(a^x)' = a^x \ln a$$
• Частный случай (экспонента с основанием $e \approx 2{,}718$ ):
$$(e^x)' = e^x$$

[ Место для иллюстрации: График показательной функции y = e^x и касательная к нему, демонстрирующая совпадение значения функции и её производной ]

Заметьте уникальное свойство экспоненты: функция $f(x) = e^x$ — единственная функция в математическом анализе (с точностью до постоянного множителя), производная которой строго равна самой этой функции!

2. Дифференцирование логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при $x > 0$ и имеет вид $y = \log_a x$ .

Формулы производной логарифмической функции 🎯

• В общем виде (с основанием $a$ ):
$$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$$
• Частный случай (натуральный логарифм $\ln x = \log_e x$ ):
$$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$$

3. Дифференцирование сложной показательной и логарифмической функций

Если аргументом функции является не просто переменная $x$ , а некоторая выражение-функция $g(x)$ , применяется правило вычисления производной сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .

Вид сложной функции

Формула производной

Показательная с основанием $e$ : $y = e^{g(x)}$

$(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$

Показательная общего вида: $y = a^{g(x)}$

$(a^{g(x)})' = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Натуральный логарифм: $y = \ln(g(x))$

$(\ln(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$

Логарифмическая общего вида: $y = \log_a(g(x))$

$(\log_a(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x) \ln a}$

Полезный лайфхак для ЕГЭ! 💡

При поиске производной от произведения вида $y = (x - k) e^{g(x)}$ выносите экспоненту $e^{g(x)}$ за скобки. Так как $e^{g(x)} > 0$ при любых $x$ , при поиске точек экстремума (где $y' = 0$ ) экспонента не даёт корней и легко сокращается!

Пошаговый алгоритм нахождения производной

При вычислении производных показательно-логарифмических функций придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Укажите область допустимых значений (ОДЗ): для логарифмической функции подлогарифмическое выражение строго положительно ( $g(x) > 0$ ).

Определите структуру выражения: выявите, является ли выражение суммой, произведением, частным или сложной функцией.

Примените соответствующую формулу дифференцирования: вычислите внешнюю производную и, при необходимости, домножьте на производную внутреннего аргумента $g'(x)$ .

Разбор типовых задач из самостоятельных и контрольных работ 11 класса

Рассмотрите решения задач, характерных для урока математического анализа за 11 класс и профильного ЕГЭ.

Пример 1: Дифференцирование произведения с показательной функцией

Задание: Найдите производную функции $y = (x^2 - 3x + 3) e^{x - 2}$ .

Подробное решение:

1) Воспользуемся формулой производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ .

2) Обозначим $u = x^2 - 3x + 3$ , $v = e^{x - 2}$ .
Вычислим их производные: $u' = 2x - 3$ , $v' = (e^{x - 2})' = e^{x - 2} \cdot (x - 2)' = e^{x - 2}$ .

3) Составим выражение производной $y'$ :
$y' = (2x - 3) e^{x - 2} + (x^2 - 3x + 3) e^{x - 2}$ .

4) Вынесем общий множитель $e^{x - 2}$ за скобки и приведём подобные слагаемые:
$y' = e^{x - 2} \cdot (2x - 3 + x^2 - 3x + 3) = e^{x - 2} \cdot (x^2 - x) = x(x - 1)e^{x - 2}$ .

Ответ: $y' = x(x - 1)e^{x - 2}$ .

Пример 2: Дифференцирование сложной логарифмической функции

Задание: Найдите производную функции $y = \ln(x^2 + 5x + 6) - 3x$ .

Подробное решение:

1) Применим правило дифференцирования суммы и формулу $(\ln(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ .

2) Для первого слагаемого $g(x) = x^2 + 5x + 6$ , его производная $g'(x) = 2x + 5$ .
Получаем: $(\ln(x^2 + 5x + 6))' = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$ .

3) Производная второго слагаемого: $(-3x)' = -3$ .

4) Итоговая производная равен:
$y' = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6} - 3$ .

Ответ: $y' = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6} - 3$ .

Тренажёры по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций» на Экзамео

Закрепите навыки дифференцирования показательных и логарифмических функций на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все дифференциальные карточки и проверочные тесты по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций» за 11 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами профильного ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни упражнений с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре и началам анализа за 11 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и успешно сдавайте все контрольные работы и ЕГЭ!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы