функция рациональной степени - свойства, графики и тренажёры

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Степенная функция с рациональным показателем» по алгебре и началам математического анализа для 11 класса. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь старшеклассникам досконально понять особенности функций степеней с рациональным показателем, изучить их графики и свойства, научиться отличать степенную функцию от показательной и без ошибок решать задания из самостоятельных и контрольных работ, а также ЕГЭ.

Понятие степени с рациональным показателем расширяет привычные представления об алгебраических функциях. Работа с выражениями вида $y = x^{r}$ , где $r = \frac{m}{n}$ — дробное число, фундаментально важна для вычисления производных, исследования функций и решения иррациональных уравнений.

Теоретический справочник: свойства и графики

Рассмотрим базовое определение степенной функции с дробным показателем, её ключевые свойства и варианты построения графиков.

1. Определение функции и область определения

Определение степенной функции 🎯

Степенной функцией с рациональным показателем называют функцию вида:

$$y = x^r \quad \text{или} \quad y = x^{\frac{m}{n}}$$
где $r = \frac{m}{n}$ — неотрицательное или отрицательное рациональное число ( $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$ ).

Область определения (ОДЗ):

По общему соглашению в математическом анализе, для функции с дробным показателем $r = \frac{m}{n}$ основание $x$ рассматривается на луче $x \ge 0$ (при $r > 0$ ) или интервале $x > 0$ (при $r < 0$ ). Это необходимо для однозначности вычислений при любых знаменателях $n$ .

Важно: не путай степенную и показательную функции! 💡

• Степенная функция ( $y = x^r$ ): переменная $x$ находится в основании, а показатель $r$ — постоянное число (например, $y = x^{2/3}$ ).

• Показательная функция ( $y = a^x$ ): постоянное число $a$ находится в основании, а переменная $x$ — в показателе (например, $y = (2/3)^x$ ).

2. Графики функций степеней с рациональным показателем

Поведение графика функции $y = x^r$ при $x > 0$ напрямую зависит от величины рационального показателя $r$ :

1. Случай $r > 1$ 📈

• Функция строго возрастает.

• Выпукла вниз (кривая направлена вверх аналогично параболе).

• Проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$ .

• Пример: $y = x^{3/2}$ .

2. Случай $0 < r < 1$ 📉

• Функция возрастает, но замедляется.

• Выпукла вверх (кривая похожа на ветвь квадратного корня).

• Проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$ .

• Пример: $y = x^{1/3}$ .

3. Случай $r < 0$ 🔄

• Функция строго убывает.

• Имеет асимптоты $x = 0$ и $y = 0$ (кривая типа гиперболы).

• Проходит через точку $(1; 1)$ .

• Пример: $y = x^{-1/2}$ .

[ Место для иллюстрации: Графики степенных функций y = x^(3/2), y = x^(1/2) и y = x^(-1/2) в первой координатной четверти ]

3. Основные свойства функции $y = x^r$ ( $x > 0$ )

Сводные свойства:

1. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

2. Монотонность:
• При $r > 0$ функция строго возрастает на $[0; +\infty)$ .
• При $r < 0$ функция строго убывает на $(0; +\infty)$ .

3. Производная: вычисляется по стандартной формуле степенной функции:
$$(x^r)' = r \cdot x^{r - 1}$$

4. Первообразная:
$$\int x^r \, dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)$$

Пошаговый алгоритм исследования функции

При исследовании и дифференцировании степенных функций с рациональным показателем придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите ОДЗ: зафиксируйте ограничение для основания $x \ge 0$ или $x > 0$ .

Преобразуйте иррациональные выражения к степени: перейдите от корней к дробным показателям ( $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ ).

Примените свойства степеней или производную: выполните действия со степенями ( $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ ) или вычислите производную $(x^r)' = r x^{r-1}$ .

Разбор типовых задач из контрольных работ за 11 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для уроков алгебры за 11 класс.

Пример 1: Нахождение производной функции с рациональным показателем

Задание: Найдите значение производной функции $f(x) = x^{4/3} - 6x^{1/3}$ в точке $x = 8$ .

Подробное решение:

1) Воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^r)' = r x^{r-1}$ :
$f'(x) = \dfrac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} - 6 \cdot \dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \dfrac{4}{3} x^{1/3} - 2 x^{-2/3}$ .

2) Перепишем выражение через корни для удобства вычислений:
$f'(x) = \dfrac{4}{3} \sqrt[3]{x} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$ .

3) Подставим $x = 8$ :
$\sqrt[3]{8} = 2$ , значит:
$f'(8) = \dfrac{4}{3} \cdot 2 - \dfrac{2}{2^2} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{16 - 3}{6} = \dfrac{13}{6} = 2\dfrac{1}{6}$ .

Ответ: $2\dfrac{1}{6}$ .

Пример 2: Сравнение значений функции с дробным показателем

Задание: Сравните числа $(3{,}2)^{0{,}7}$ и $(4{,}1)^{0{,}7}$ .

Подробное решение:

1) Данные выражения представляют собой значения степенной функции $f(x) = x^{0{,}7}$ при $x_1 = 3{,}2$ и $x_2 = 4{,}1$ .

2) Показатель степени $r = 0{,}7 > 0$ . Следовательно, степенная функция $y = x^{0{,}7}$ является строго возрастающей на своей области определения.

3) Так как $3{,}2 < 4{,}1$ , то для возрастающей функции выполняется неравенство:
$f(3{,}2) < f(4{,}1) \implies (3{,}2)^{0{,}7} < (4{,}1)^{0{,}7}$ .

Ответ: $(3{,}2)^{0{,}7} < (4{,}1)^{0{,}7}$ .

Тренажёры по теме «Степенная функция» на Экзамео

Закрепите свойства степенной функции с рациональным показателем и графики на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все дифференциальные карточки и проверочные тесты по теме «Степенная функция с рациональным показателем» за 11 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами КИМ ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни упражнений с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре за 11 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за самостоятельные и контрольные работы!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы