Гипербола как кривая второго порядка: уравнение, свойства и асимптоты

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Гипербола как кривая второго порядка» для профильных классов и углублённого курса математики за 11 класс. Методисты и преподаватели высшей математики образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь старшеклассникам освоить базовые понятия аналитической геометрии, научиться выводить и анализировать каноническое уравнение гиперболы, находить её асимптоты, фокусы и эксцентриситет, а также без ошибок решать сложные задачи олимпиадного уровня и профильного ЕГЭ.

В отличие от базовой школьной алгебры, где гипербола рассматривается лишь как график обратно пропорциональной зависимости $y = \dfrac{k}{x}$ , в углублённом курсе 11 класса гипербола изучается как кривая второго порядка — каноническое геометрическое место точек плоскости с особыми фокальными и оптическими свойствами.

Теоретический справочник: гипербола в аналитической геометрии

Ниже подробно и строго приведены геометрическое определение гиперболы, вывод канонического уравнения и все её ключевые параметры.

Геометрическое определение и каноническое уравнение

Определение гиперболы 🎯

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек $F_1$ и $F_2$ (называемых фокусами) есть величина постоянная, равная $2a$ (причём $0 < 2a < F_1F_2$ ).

|F_1M - F_2M| = 2a

Каноническое уравнение гиперболы:

В прямоугольной декартовой системе координат с центром в середине отрезка $F_1F_2$ каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

где:
• $a$ — вещественная (действительная) полуось;
• $b$ — мнимая полуось;
• $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ — фокусное расстояние (половина расстояния между фокусами $F_1(-c; 0)$ и $F_2(c; 0)$ ).

[ Место для иллюстрации: Чертеж гиперболы в декартовой системе координат с фокусами F1 и F2, вершинами (-a, 0) и (a, 0), основным прямоугольником и асимптотами y = ±(b/a)x ]

Ключевые элементы и характеристики гиперболы

В углублённом курсе геометрии гипербола характеризуется четырьмя фундаментальными объектами:

1. Асимптоты гиперболы:

Прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы при $x \to \infty$ . Их уравнения вычисляются по формулам:

y = \dfrac{b}{a}x \quad \text{и} \quad y = -\dfrac{b}{a}x

2. Эксцентриситет ( $\varepsilon$ ):

Отношение фокусного расстояния к вещественной полуоси:

\varepsilon = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}

(Для любой гиперболы эксцентриситет строго больше единицы: $\varepsilon > 1$ !)

3. Директрисы гиперболы:

Две прямые, перпендикулярные вещественной оси, с уравнениями $x = \dfrac{a}{\varepsilon} = \dfrac{a^2}{c}$ и $x = -\dfrac{a^2}{c}$ . Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно $\varepsilon$ .

4. Равнобочная и сопряжённая гиперболы:

• Если $a = b$ , гипербола называется равнобочной ( $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{a^2} = 1$ ). Ее асимптоты взаимно перпендикулярны ( $y = \pm x$ ), а эксцентриситет $\varepsilon = \sqrt{2}$ . При повороте осей на $45^\circ$ её уравнение принимает знакомый вид $y = \dfrac{k}{x}$ .

• Гипербола $-\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ называется сопряжённой к исходной (её ветви направлены вверх и вниз).

Оптическое свойство гиперболы! 💡

Луч света, исходящий из одного фокуса $F_1$ гиперболы, после отражения от внутренней поверхности зеркальной ветви гиперболы распространяется так, будто он вышел из второго фокуса $F_2$ ! Это свойство используется при конструировании телескопов системы Кассегрена и микроскопов.

Пошаговый алгоритм исследования уравнения гиперболы

При решении задач аналитической геометрии углублённого уровня придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Приведите уравнение к каноническому виду: разделите обе части на свободный член, чтобы получить $1$ в правой части ( $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ).

Найдите полуоси и фокусное расстояние: определите $a = \sqrt{a^2}$ , $b = \sqrt{b^2}$ и вычислите $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Запишите характеристики: укажите координаты вершин $(\pm a; 0)$ , фокусов $(\pm c; 0)$ , уравнения асимптот $y = \pm \dfrac{b}{a}x$ и эксцентриситет $\varepsilon = \dfrac{c}{a}$ .

Разбор задач углублённого курса 11 класса

Рассмотрите решения задач, характерных для профильных классов и математических олимпиад.

Пример 1: Полное исследование гиперболы по её уравнению

Задание: Гипербола задана уравнением $16x^2 - 9y^2 = 144$ . Найдите её полуоси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот.

Подробное решение:

1) Разделим обе части уравнения на $144$ , чтобы получить канонический вид:
$\dfrac{16x^2}{144} - \dfrac{9y^2}{144} = 1 \implies \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ .

2) Определим полуоси: $a^2 = 9 \implies a = 3$ (вещественная полуось), $b^2 = 16 \implies b = 4$ (мнимая полуось).
Вершины гиперболы: $A_1(-3; 0)$ и $A_2(3; 0)$ .

3) Найдем фокусное расстояние $c$ :
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Координаты фокусов: $F_1(-5; 0)$ и $F_2(5; 0)$ .

4) Вычислим эксцентриситет $\varepsilon$ :
$\varepsilon = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}$ .

5) Составим уравнения асимптот:
$y = \pm \dfrac{b}{a} x \implies y = \pm \dfrac{4}{3} x$ .

Ответ: $a = 3, b = 4$ ; вершины $(\pm 3; 0)$ ; фокусы $(\pm 5; 0)$ ; $\varepsilon = \dfrac{5}{3}$ ; асимптоты $y = \pm \dfrac{4}{3}x$ .

Пример 2: Составление канонического уравнения гиперболы по асимптоте и точке

Задание: Составьте каноническое уравнение гиперболы, если её асимптоты заданы уравнениями $y = \pm \dfrac{3}{4} x$ , и кривая проходит через точку $M(5; \dfrac{9}{4})$ .

Подробное решение:

1) Из уравнения асимптот $y = \pm \dfrac{b}{a}x$ следует отношение полуосей:
$\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4} \implies b = \dfrac{3}{4}a$ .

2) Подставим $b^2 = \dfrac{9}{16}a^2$ в каноническое уравнение гиперболы $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ :
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{\frac{9}{16}a^2} = 1 \implies \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{16y^2}{9a^2} = 1$ .

3) Подставим координаты точки $M(x = 5, y = \dfrac{9}{4})$ в уравнение:
$\dfrac{5^2}{a^2} - \dfrac{16 \cdot (\frac{9}{4})^2}{9a^2} = 1 \implies \dfrac{25}{a^2} - \dfrac{16 \cdot \frac{81}{16}}{9a^2} = 1 \implies \dfrac{25}{a^2} - \dfrac{9}{a^2} = 1$ .

4) Вычислим $a^2$ и $b^2$ :
$\dfrac{16}{a^2} = 1 \implies a^2 = 16 \implies a = 4$ .
$b^2 = \dfrac{9}{16} a^2 = \dfrac{9}{16} \cdot 16 = 9 \implies b = 3$ .

5) Запишем каноническое уравнение: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ .

Ответ: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ .

Тренажёры по теме «Гипербола - кривая второго порядка» на Экзамео

Закрепите тему «Гипербола как кривая второго порядка» на практике в интерактивных тренажёрах Экзамео. Вас ждут задачи углублённого уровня по программе 11 класса, автоматическая проверка и подробные пошаговые решения в каждом задании, для того, чтобы избавиться ото всех ошибок.

Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно готовьтесь к экзаменам и олимпиадам, а система подскажет ошибки

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы