Извлечение корней из комплексных чисел: формула Муавра и примеры

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Извлечение корней из комплексных чисел». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с формулами, геометрическими иллюстрациями и пошаговым разбором типовых примеров, чтобы помочь студентам вузов и старшеклассникам освоить формулу Муавра, понять расположение корней на комплексной плоскости и успешно подготовиться к контрольным работам и экзаменам по высшей математике.

В отличие от действительных чисел, где корень четной степени из отрицательного числа не существует, в поле комплексных чисел корень любой степени $n$ всегда выполним и имеет ровно $n$ различных комплексных значений.

Главное правило: Формула Муавра для извлечения корней

Пусть комплексное число $z$ задано в тригонометрической форме: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ , где $r = |z|$ — модуль, а $\varphi = \text{Arg}\,z$ — аргумент числа.

Тогда значение корня $n$ -й степени из числа $z$ находится по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\dfrac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$
где параметр $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ принимает ровно $n$ значений, давая $n$ различных корней.

Геометрический смысл: Корни как вершины правильного многоугольника

Геометрическая интерпретация формулы извлечения корней позволяет легко проверять правильность вычислений:

1. Окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ ⭕

• Все $n$ значений корня $w_0, w_1, \dots, w_{n-1}$ лежат на одной окружности с центром в начале координат $(0,0)$ .

• Радиус этой окружности равен $R = \sqrt[n]{|z|}$ .

2. Правильный $n$ -угольник 📐

• Корни делят окружность на $n$ равных дуг.

• Угол между двумя соседними корнями равен $\dfrac{2\pi}{n}$ (или $\dfrac{360^\circ}{n}$ ).

• Точки на плоскости образуют вершины правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность.

Частные случаи: Корни из $1$ и $i$

В таблице ниже собраны формулы и значения для часто встречающихся стандартных базовых чисел:

Выражение

Тригонометрическая форма

Формула корней ( $k = 0, \dots, n-1$ )

Геометрическая фигура

$\sqrt[n]{1}$

$1 = 1(\cos 0 + i\sin 0)$

$w_k = \cos\dfrac{2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{2\pi k}{n}$

Правильный $n$ -угольник с вершиной в точке $(1,0)$

$\sqrt[n]{-1}$

$-1 = 1(\cos\pi + i\sin\pi)$

$w_k = \cos\dfrac{\pi + 2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{\pi + 2\pi k}{n}$

Правильный $n$ -угольник, повернутый относительно оси $Ox$

$\sqrt[n]{i}$

$i = 1\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$

$w_k = \cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{n}$

Правильный $n$ -угольник с первой вершиной при $\varphi_0 = \frac{\pi}{2n}$

Пошаговый алгоритм извлечения корней из комплексного числа

Чтобы без ошибок найти все значения корня степени $n$ , придерживайтесь этой схемы:

Порядок действий:

Переведите число $z = a + bi$ в тригонометрическую форму:

• Вычислите модуль: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ ;

• Найдите главный аргумент $\varphi$ с учетом четверти, в которой лежит точка $(a,b)$ .

Запишите общую формулу Муавра:

• Запишите выражение для аргумента $\alpha_k = \dfrac{\varphi + 2\pi k}{n}$ и модуля $R = \sqrt[n]{r}$ .

Последовательно подставьте значения $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ :

• Вычислите значения углов и переведите результаты при необходимости обратно в алгебраическую форму ( $a_k + i b_k$ ).

Сделайте проверку: убедитесь, что количество найденных корней ровно равно степени $n$ , а их сумма (для $n \ge 2$ ) равна нулю ( $\sum w_k = 0$ ).

Типичные ошибки при извлечении корней

При решении заданий студенты и учащиеся чаще всего допускают следующие ошибки:

Забывание периода $2\pi k$

Находить только одно значение корня при $k=0$ ❌. Запомните: корень степени $n$ всегда имеет $n$ различных значений (нужно перебрать все $k$ от $0$ до $n-1$ ) ✅!

Ошибка в определении аргумента $\varphi$

Находить $\varphi = \text{arctg}\frac{b}{a}$ без учета четверти ❌. Обязательно рисуйте чертеж и определяйте, в каком координатном углу находится точка $z = a + bi$ ✅!

Постарайтесь обращать на это внимание при выполнении контрольных и экзаменационных работ.

Разбор практических примеров решений

Рассмотрите подробные образцы решения типовых задач высшей математики.

Пример 1: Вычислить все значения кубического корня из единицы

Задание: Найдите все значения $\sqrt[3]{1}$ и запишите их в алгебраической форме.

Подробное решение:

1) Представим $z = 1$ в тригонометрической форме:

• $r = |1| = 1$ , $\varphi = 0$ .

• $1 = 1(\cos 0 + i\sin 0)$ .

2) Запишем формулу Муавра для $n = 3$ :

• $w_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos\dfrac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\dfrac{0 + 2\pi k}{3} \right)$ , где $k = 0, 1, 2$ .

3) Вычислим значения для каждого $k$ :

• При $k = 0$ : $w_0 = \cos 0 + i\sin 0 = \mathbf{1}$ .

• При $k = 1$ : $w_1 = \cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3} = \mathbf{-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ .

• При $k = 2$ : $w_2 = \cos\dfrac{4\pi}{3} + i\sin\dfrac{4\pi}{3} = \mathbf{-\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Ответ: $w_0 = 1$ , $w_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $w_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Пример 2: Вычислить значения квадратного корня из числа

Задание: Извлеките квадратный корень $\sqrt{-1 + i\sqrt{3}}$ .

Подробное решение:

1) Переведем $z = -1 + i\sqrt{3}$ в тригонометрическую форму:

• $a = -1$ , $b = \sqrt{3}$ .

• Модуль: $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ .

• Точка лежит во II четверти ( $a < 0, b > 0$ ), поэтому $\varphi = \pi - \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$ .

• $z = 2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$ .

2) Применим формулу Муавра для $n = 2$ ( $k = 0, 1$ ):

• $w_k = \sqrt{2} \left( \cos\dfrac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{2} + i\sin\dfrac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \pi k\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{3} + \pi k\right) \right)$ .

3) Вычислим корни:

• При $k = 0$ : $w_0 = \sqrt{2} \left( \cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3} \right) = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$ .

• При $k = 1$ : $w_1 = \sqrt{2} \left( \cos\dfrac{4\pi}{3} + i\sin\dfrac{4\pi}{3} \right) = \sqrt{2} \left( -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - i\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$ .

Ответ: $w_{0,1} = \pm \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)$ .

Карточки с заданиями для самопроверки

Используйте эти учебные карточки для практики и самопроверки:

Карточка №1 (Вычисление корней) 📝

1) Найдите все значения $\sqrt{-16}$ .

2) Найдите значения квадратного корня $\sqrt{i}$ .

(Ответы: 1) $w_{0,1} = \pm 4i$ ; 2) $w_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $w_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

Карточка №2 (Уравнения в С) 🎯

1) Решите уравнение в комплексных числах: $z^4 + 16 = 0$ .

2) Какую геометрическую фигуру образуют корни уравнения $z^6 = 1$ на комплексной плоскости?

(Ответы: 1) $z = \sqrt[4]{-16} \implies z_{k} = \sqrt{2}(\pm 1 \pm i)$ ; 2) Правильный шестиугольник с вершиной в точка $(1,0)$ )

Задания и тренажёры по теме на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры и дидактические карточки по теме «Извлечение корней из комплексных чисел» с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задачи на применение формулы Муавра, решение двучленных уравнений и геометрическую интерпретацию корней составлены в точном соответствии с программами высшей математики для технических и физико-математических специальностей вузов!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Извлечение корней из комплексных чисел» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов вместе с нами!