Многочлены от нескольких переменных: свойства и деление

На этой странице представлен разбор темы «Многочлены от нескольких переменных» для учащихся 11 класса, чтобы помочь старшеклассникам освоить продвинутые методы работы с алгебраическими выражениями от двух и более переменных, освоить понятия однородности и симметричности, научиться решать сложные задачи и успешно подготовиться к профильному ЕГЭ по математике, в особенности эта тема будет полезна для второй части ЕГЭ.

В младших классах основной акцент делался на функции и многочлены от одной переменной $x$ . Однако в реальной математике, физике и экономике большинство моделей зависят от нескольких факторов одновременно. Многочлены от нескольких переменных — это фундаментальный раздел высшей алгебры, позволяющий упрощать громоздкие системы уравнений и находить скрытые симметрии алгебраических структур.

Понятие многочлена от нескольких переменных — 11 класс

Многочленом от нескольких переменных (например, $x, y, z$ ) называется сумма одночленов вида $a \cdot x^k y^m z^n$ , где $a$ — числовой коэффициент, а $k, m, n$ — целые неотрицательные числа.

• Степень одночлена: равна сумме показателей степеней всех входящих в него переменных ( $k + m + n$ );

• Степень многочлена: это наивысшая из степеней входящих в него одночленов стандартного вида.

Пример: В многочлене $P(x, y) = 3x^3y^2 - 5x^2y^4 + 7x - 2$ степень первого одночлена равна $3+2=5$ , второго — $2+4=6$ , третьего — $1$ . Следовательно, степень всего многочлена $P(x, y)$ равна 6.

Специальные классы многочленов от нескольких переменных

В 11 классе особое внимание уделяется двум важнейшим классам многочленов, обладающих уникальными алгебраическими свойствами, поскольку их свойства помогают при решении заданий второй части, в частности уравнений, неравенств и заданий с параметрами.

1. Однородные многочлены ⚖️

Многочлен называется однородным степени $k$ , если все входящие в него одночлены имеют совершенно одинаковую степень $k$ .

Пример: $P(x, y) = 2x^3 - 5x^2y + 4xy^2 - y^3$ — однородный многочлен 3-й степени (степень каждого слагаемого равна 3).

2. Симметричные многочлены 🪞

Многочлен $P(x, y)$ называется симметричным, если он не меняется при перестановке любых двух переменных местами:

$P(x, y) = P(y, x)$

Пример: $P(x, y) = x^2 + xy + y^2$ . При замене $x \leftrightarrow y$ получаем $y^2 + yx + x^2$ , что совпадает с исходным многочленом.

Элементарные симметрические многочлены Виета 🧩

Любой симметричный многочлен от двух переменных $x$ и $y$ можно выразить через элементарные симметрические многочлены:

• $\sigma_1 = x + y$ (сумма)
• $\sigma_2 = x \cdot y$ (произведение)

Основная теорема о симметрических многочленах:

Каждый симметрический многочлен от $x$ и $y$ можно единственным образом представить как многочлен от $\sigma_1$ и $\sigma_2$ .

Выражение степенных сумм через $\sigma_1$ и $\sigma_2$

Для быстрого преобразования выражений и решения систем уравнений используются следующие тождества:

Степенная сумма

Выражение через сигмы

Развернутая формула

Сумма квадратов ( $x^2 + y^2$ )

$\sigma_1^2 - 2\sigma_2$

$(x + y)^2 - 2xy$

Сумма кубов ( $x^3 + y^3$ )

$\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$

$(x + y)^3 - 3xy(x + y)$

Сумма 4-х степеней ( $x^4 + y^4$ )

$\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2$

$((x + y)^2 - 2xy)^2 - 2(xy)^2$

Пошаговый алгоритм решения симметричных систем уравнений

Чтобы без ошибок решать системы уравнений от двух переменных с помощью симметричных многочленов, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Убедитесь в симметричности системы: проверьте, сохраняется ли вид каждого уравнения при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ .

Сделайте замену переменных: пусть $u = x + y$ , $v = xy$ .

Выразите все слагаемые уравнений через $u$ и $v$ и найдите решения упрощённой системы относительно $(u, v)$ .

Найдите пары $(x, y)$ для каждого решения $(u, v)$ : по обратной теореме Виета $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$ .

Типичные ошибки одиннадцатиклассников

При работе с многочленами от нескольких переменных выпускники чаще всего допускают следующие две ошибки:

Потеря пар решений из-за несимметричной записи

Найти пару чисел $(u, v)$ и записать только одно решение $(x_1, y_1)$ , забыв, что переменные $x$ и $y$ в симметричной системе равноправны! Если система имеет решение $(a, b)$ , то она обязательно имеет и решение $(b, a)$ !

Неправильное определение степени одночлена

Считать степенью одночлена $4x^3y^2$ только наибольший показатель 3. Запомните: степень одночлена от нескольких переменных равна сумме всех показателей степеней ( $3 + 2 = 5$ )!

Постарайтесь обращать на это внимание при решении олимпиадных заданий и профильного ЕГЭ по математике.

Разбор практических примеров профильного уровня

Рассмотрите примеры применения свойства симметричности и однородности из программы 11 класса.

Пример 1: Разложение на множители с помощью свойства симметричности

Задание: Разложите на множители многочлен от трёх переменных: $P(x, y, z) = x^3(y - z) + y^3(z - x) + z^3(x - y)$ .

Подробное решение:

1) Заметим, что если подставить $x = y$ , то $P(y, y, z) = y^3(y - z) + y^3(z - y) + z^3(y - y) = y^3(y - z) - y^3(y - z) + 0 = 0$ .

2) По теореме Безу для многочленов от нескольких переменных, $P(x, y, z)$ делится нацело на $(x - y)$ .

3) В силу кососимметричности выражения, оно также делится на $(y - z)$ и $(z - x)$ .

4) Исходный многочлен имеет 4-ю степень. Произведение трех скобок $(x - y)(y - z)(z - x)$ имеет 3-ю степень. Значит, остаётся линейный множитель 1-й степени, который в силу симметрии имеет вид $k(x + y + z)$ .

5) $x^3(y - z) + y^3(z - x) + z^3(x - y) = k(x + y + z)(x - y)(y - z)(z - x)$ .
Подставив $x = 0, y = 1, z = 2$ , найдём коэффициент $k$ :

$0 + 1(2 - 0) + 8(0 - 1) = k(0 + 1 + 2)(0 - 1)(1 - 2)(2 - 0)$

$2 - 8 = k \cdot 3 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 2 \implies -6 = 6k \implies k = -1$ .

Ответ: $-(x + y + z)(x - y)(y - z)(z - x)$ .

Пример 2: Решение симметричной системы уравнений

Задание: Решите систему уравнений: $\begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$ .

Подробное решение:

1) Сделайте замену переменных:
Пусть $u = x + y$ , $v = xy$ . Выразим $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$ .

2) Запишем систему через $u$ и $v$ :

$\begin{cases} u + v = 11 \\ u^2 - 2v = 13 \end{cases}$

3) Из первого уравнения $v = 11 - u$ . Подставим во второе:

$u^2 - 2(11 - u) = 13 \implies u^2 + 2u - 22 - 13 = 0 \implies u^2 + 2u - 35 = 0$ .
По теореме Виета: $u_1 = 5$ , $u_2 = -7$ .

4) Найдем соответствующие значения $v$ :

• Если $u = 5$ , то $v = 11 - 5 = 6$ .

• Если $u = -7$ , то $v = 11 - (-7) = 18$ .

5) Вернёмся к исходным переменным $(x, y)$ :

• Случай 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \implies$ корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0 \implies t_1 = 2, t_2 = 3$ .

Получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$ .

• Случай 2: $\begin{cases} x + y = -7 \\ xy = 18 \end{cases} \implies$ уравнение $t^2 + 7t + 18 = 0$ . $D = 49 - 72 < 0$ (действительных корней нет).

Ответ: $(2, 3); \, (3, 2)$ .

Задания на многочлены от нескольких переменных для 11 класса

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы