Независимые повторения испытаний с двумя исходами: схема Бернулли

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Независимые повторения испытаний с двумя исходами (схема Бернулли)» по вероятности и статистике для 11 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить фундаментальную модель теории вероятностей, научиться без ошибок вычислять вероятности сложных биномиальных событий и успешно готовиться к контрольным работам и заданиям ЕГЭ по математике.

Многие случайные эксперименты в жизни и науке заключаются в многократном повторении одного и того же опыта, где каждый раз возможны ровно два противоположных исхода: «успех» или «неудача» (например, подбрасывание монеты, выстрелы по мишени, тестирование лекарства или контроль брака на производстве).

Теоретический справочник: схема Бернулли

Рассмотрите условия применимости схемы Бернулли, основную формулу и свойства наивероятнейшего числа успехов.

1. Условия схемы Бернулли

Что такое схема Бернулли? 🎯

Серия испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие 3 условия:

1. В каждом испытании возможны ровно два исхода: «успех» ( $U$ ) и «неудача» ( $\overline{U}$ ).

2. Вероятность успеха $p = P(U)$ постоянна и не меняется от испытания к испытанию. Вероятность неудачи равна $q = 1 - p$ .

3. Испытания являются независимыми (исход любого испытания не влияет на результаты других).

[ Место для иллюстрации: Наглядная схема независимых испытаний с ветвлением Успех (p) / Неудача (q) для нескольких шагов n ]

2. Формула Бернулли

Если проводится серия из $n$ независимых испытаний Бернулли, вероятность того, что «успех» наступит ровно $k$ раз (где $0 \le k \le n$ ), находится по формуле Бернулли:

Формула Бернулли:

P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k}

Где:
• $n$ — общее число независимых испытаний;
• $k$ — число наступивших «успехов»;
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании;
• $q = 1 - p$ — вероятность неудачи в одном испытании;
• $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$ .

3. Наивероятнейшее число успехов $k_0$

Число успехов $k_0$ , которому соответствует наибольшая вероятность $P_n(k_0)$ , называется наивероятнейшим числом успехов.

Как найти наивероятнейшее число успехов? 💡

Целое число $k_0$ удовлетворяет двойному неравенству:

n p - q \le k_0 \le n p + p

Длина интервала равна $(n p + p) - (n p - q) = p + q = 1$ , поэтому внутри него всегда лежит ровно одно целое число (или два, если границы оказываются целыми!).

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на схему Бернулли придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выделите параметры $n, p, q$ : укажите общее количество испытаний $n$ , вероятность «успеха» $p$ и вычислите вероятность «неудачи» $q = 1 - p$ .

Определите искомое число успехов $k$ : переведите условие задачи в значение $k$ (или комбинации $k_1, k_2, \dots$ ).

Вычислите вероятность по формуле: посчитайте число сочетаний $C_n^k$ , подставьте значения в формулу $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k}$ и запишите ответ.

Разбор типовых задач из самостоятельных работ и ЕГЭ

Рассмотрите решения задач, характерных для урока теории вероятностей в 11 классе и профильного ЕГЭ.

Пример 1: Вычисление вероятности точного числа успехов по формуле Бернулли

Задание: Монету подбрасывают $5$ раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно $3$ раза.

Подробное решение:

1) Выпишем параметры схемы Бернулли:
• Число испытаний $n = 5$ ;
• Число успехов $k = 3$ ;
• Вероятность выпадения орла $p = 0{,}5$ ;
• Вероятность неудачи $q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$ .

2) Найдем число сочетаний $C_5^3$ :
$C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ .

3) Применим формулу Бернулли:
$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5 - 3} = 10 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot (0{,}5)^5 = 10 \cdot \dfrac{1}{32} = \dfrac{10}{32} = 0{,}3125$ .

Ответ: $0{,}3125$ .

Пример 2: Нахождение наивероятнейшего числа успехов

Задание: Производится $10$ независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$ . Найдите наивероятнейшее число попаданий.

Подробное решение:

1) Из условия задачи: $n = 10$ , $p = 0{,}7$ , $q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .

2) Воспользуемся двойным неравенством для наивероятнейшего числа успехов $k_0$ :
$n p - q \le k_0 \le n p + p$ .

3) Вычислим значения левой и правой границ:
• $n p - q = 10 \cdot 0{,}7 - 0{,}3 = 7 - 0{,}3 = 6{,}7$ ;
• $n p + p = 10 \cdot 0{,}7 + 0{,}7 = 7 + 0{,}7 = 7{,}7$ .

4) Составим двойное неравенство:
$6{,}7 \le k_0 \le 7{,}7$ .

5) Единственным целым числом на данном отрезке является $k_0 = 7$ .

Ответ: наивероятнейшее число попаданий равно $7$ .

Тренажёры по теме «Независимые повторения испытаний» на Экзамео

Закрепите формулу Бернулли и вычисление наивероятнейшего числа успехов на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме «Независимые повторения испытаний с двумя исходами» за 11 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по вероятности и статистике и материалами КИМ ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни упражнений с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями. Переходите к тренажёрам по теории вероятностей за 11 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и уверенно получайте отличные оценки за самостоятельные работы и ЕГЭ!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы