Определённый интеграл: формула Ньютона — Лейбница и геометрический смысл

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Определённый интеграл» по алгебре и началам математического анализа для 11 класса. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально понять геометрический смысл определенного интеграла, выучить формулу Ньютона — Лейбница, освоить вычисление площадей криволинейных трапеций и без ошибок справляться с задачами из контрольных работ и ЕГЭ.

Определенные интегралы в ЕГЭ

В открытом банке ФИПИ ЕГЭ по профильной математике в 2027 году нет интегралов - следовательно их 100% не может быть в первой части, но вы можете их встретить в пробниках различных авторов и например на ЕГКР.

Определённый интеграл — одна из завершающих и самых красивых тем школьного курса математического анализа. В отличие от неопределённого интеграла (первообразной), который представляет собой семейство функций, определённый интеграл равен конкретному числу и имеет четкий физический и геометрический смысл.

После теории на странице доступны тренажёры с заданиями на определенные интегралы с подробными решениями и проверкой ответов

Определённый интеграл - 11 класс

Рассмотрим понятия криволинейной трапеции, геометрический смысл интеграла и формулу Ньютона — Лейбница.

Криволинейная трапеция и геометрический смысл определенного интеграла

Что такое криволинейная трапеция? 🎯

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ , снизу — отрезком ос $Ox$ $[a; b]$ , а с боков — прямыми $x = a$ и $x = b$ .

Геометрический смысл определённого интеграла:

Определённый интеграл от неотрицательной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ численно равен площади $S$ криволинейной трапеции, ограниченной этим графиком:

S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Обозначения: $a$ — нижний предел интегрирования, $b$ — верхний предел интегрирования, $f(x)$ — подинтегральная функция.

Формула Ньютона — Лейбница

Для основного вычисления определённых интегралов применяется фундаментальная формула Ньютона — Лейбница:

Формула Ньютона — Лейбница 🎯

Если функция $F(x)$ является первообразной для непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ , то:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

где $F(x) \Big|_{a}^{b}$ — подстановка (двойная замена).

Главные свойства определённого интеграла

При решении интегралов за 11 класс активно используются четыре линейных свойства:

1. Вынос постоянного множителя:

\int_{a}^{b}k\cdot f(x)\,dx=k\cdot\int_{a}^{b}f(x)\,dx

2. Интеграл суммы/разности:

\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int_{a}^{b}g(x)\,dx

3. Разбиение отрезка интегрирования

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx

4. Перестановка пределов:

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx

если $a = b$ , то

\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0

Площадь фигуры между двумя графиками! 💡

Если фигура ограничена сверху графиком $y = f(x)$ , а снизу графиком $y = g(x)$ на отрезке $[a; b]$ , то её площадь находится по формуле:

S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx

(Из верхнего графика всегда вычитается нижний график!)

Пошаговый алгоритм вычисления интеграла

При решении определённого интеграла придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Найдите первообразную $F(x)$ : используя таблицу интегралов, найдите любую первообразную для подинтегральной функции $f(x)$ (константу $C$ опускают).

Запишите подстановку: оформите результат с помощью квадратной скобки двойной подстановки: $F(x) \Big|_{a}^{b}$ .

Вычислите разность $F(b) - F(a)$ : подставьте сначала верхний предел $b$ , затем нижний предел $a$ и найдите их разность.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 11 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для урока математического анализа за 11 класс и контрольных работ.

Пример 1: Вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона — Лейбница

Задание: Вычислите определённый интеграл $\int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx$ .

Подробное решение:

1) Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ :
$F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + x = x^3 - x^2 + x$ .

2) Применим формулу Ньютона — Лейбница:
$\int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = (x^3 - x^2 + x) \Big|_{1}^{3}$ .

3) Подставим верхний предел $x = 3$ :
$F(3) = 3^3 - 3^2 + 3 = 27 - 9 + 3 = 21$ .

4) Подставим нижний предел $x = 1$ :
$F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$ .

5) Вычислим разность $F(3) - F(1)$ :
$21 - 1 = 20$ .

Ответ: $20$ .

Пример 2: Нахождение площади криволинейной трапеции

Задание: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 0$ .

Подробное решение:

1) Найдем пределы интегрирования, приравняв $y = 4 - x^2$ к нулю:
$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$ .
Значит, пределы интегрирования: $a = -2, b = 2$ .

2) Запишем площадь криволинейной трапеции через интеграл:
$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$ .

3) Найдем первообразную и применим формулу Ньютона — Лейбница:
$F(x) = 4x - \dfrac{x^3}{3}$ .
$S = \left(4x - \dfrac{x^3}{3}\right) \Big|_{-2}^{2}$ .

4) Подставим пределы:
$F(2) = 4 \cdot 2 - \dfrac{2^3}{3} = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}$ .
$F(-2) = 4 \cdot (-2) - \dfrac{(-2)^3}{3} = -8 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{16}{3}$ .
$S = F(2) - F(-2) = \dfrac{16}{3} - \left(-\dfrac{16}{3}\right) = \dfrac{32}{3} = 10\dfrac{2}{3}$ .

Ответ: $10\dfrac{2}{3}$ .

Тренажёры по теме «Определённый интеграл» для 11 класса

Тренажеры на определенные интегралы для 11 класса помогут отработать свойства и формулы, а так же навыки их вычисления и применения формулы Ньютона-Лейбница. Для каждого задания вы найдете подробные решения и объяснения с автоматической проверкой ответов.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы