Парабола как кривая второго порядка: уравнение, фокус и директриса

На этой странице представлен полный материал по теме «Парабола как кривая второго порядка» для профильных классов и углублённого курса математики за 11 класс, чтобы помочь старшеклассникам освоить базовые понятия аналитической геометрии, научиться выводить и анализировать канонические уравнения параболы, находить её фокус, директрису и фокальный параметр, а также без ошибок решать сложные задачи олимпиадного уровня и уровня контрольных в математиматических классах.

В отличие от базовой школьной программы, где парабола рассматривается как график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ , в углублённом курсе 11 класса парабола изучается как нецентральная кривая второго порядка — геометрическое место точек, задаваемое через фокально-директориальное свойство.

Парабола в аналитической геометрии как кривая второго порядка

Ниже подробно и понятным языком разобраны геометрическое определение параболы, вывод её канонического уравнения и расположение в декартовой системе координат для 11 класса, но прекрасно подойдет и для первого курса университета.

Геометрическое определение и каноническое уравнение

Определение параболы 🎯

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки $F$ (называемой фокусом) и от заданной прямой $d$ (называемой директрисой), не проходящей через фокус.

FM = d(M, d)

Каноническое уравнение параболы:

Если ось симметрии совпадает с осью $Ox$ , а вершина находится в начале координат $(0;0)$ , каноническое уравнение параболы имеет вид:

y^2 = 2px

где: $p > 0$ — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы), $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$ — координаты фокуса, $x = -\dfrac{p}{2}$ — уравнение директрисы.

Четыре стандартные ориентации параболы

В зависимости от выбора оси симметрии и направления ветвей, каноническое уравнение параболы принимает один из 4 видов:

Уравнение

Направление ветвей

Фокус $F$

Директриса $d$

$y^2 = 2px$

Вправо (вдоль $+Ox$ )

$\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$

$x = -\dfrac{p}{2}$

$y^2 = -2px$

Влево (вдоль $-Ox$ )

$\left(-\dfrac{p}{2}; 0\right)$

$x = \dfrac{p}{2}$

$x^2 = 2py$

Вверх (вдоль $+Oy$ )

$\left(0; \dfrac{p}{2}\right)$

$y = -\dfrac{p}{2}$

$x^2 = -2py$

Вниз (вдоль $-Oy$ )

$\left(0; -\dfrac{p}{2}\right)$

$y = \dfrac{p}{2}$

Свойства параболы и касательная

1. Эксцентриситет ( $\varepsilon$ ):

Так как для любой точки параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы, эксцентриситет параболы строго равен единице:

\varepsilon = 1

2. Уравнение касательной:

Уравнение касательной к параболе $y^2 = 2px$ в точке $M_0(x_0; y_0)$ имеет вид:

y_0 = p(x + x_0)

Оптическое свойство параболы! 💡

Пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, после отражения от её внутренней поверхности собирается в одной точке — фокусе $F$ . На этом свойстве основано устройство автомобильных фар, прожекторов, спутниковых тарелок и параболических телескопов.

Пошаговый алгоритм исследования уравнения параболы

При решении задач аналитической геометрии углублённого уровня придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите ориентацию параболы: установите, относительно какой оси симметрична парабола ( $y^2 = 2px$ или $x^2 = 2py$ ).

Найдите фокальный параметр $p$ : приравняйте коэффициент при первой степени переменной к $2p$ .

Вычислите элементы: выпишите координаты фокуса $F$ и уравнение директрисы $d$ .

Разбор задач углублённого курса (11 класс)

Рассмотрите решения задач, характерных для профильных классов и олимпиад по математике.

Пример 1: Нахождение фокуса и директрисы параболы

Задание: Задано уравнение параболы $y^2 = 12x$ . Найдите её фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.

Подробное решение:

1) Сравнивая уравнение $y^2 = 12x$ с каноническим $y^2 = 2px$ , получаем:
$2p = 12 \implies p = 6$ .

2) Находим координаты фокуса $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$ :
$\dfrac{p}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \implies F(3; 0)$ .

3) Составляем уравнение директрисы $x = -\dfrac{p}{2}$ :
$x = -3$ .

Ответ: $p = 6$ , фокус $F(3; 0)$ , директриса $x = -3$ .

Пример 2: Составление уравнения параболы по фокусу

Задание: Составьте каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке $F(0; -4)$ .

Подробное решение:

1) Так как фокус лежит на отрицательной полуоси $Oy$ в точке $(0; -4)$ , осью симметрии является ось $Oy$ , а ветви направлены вниз. Каноническое уравнение имеет вид: $x^2 = -2py$ .

2) Координаты фокуса для такого положения: $\left(0; -\dfrac{p}{2}\right)$ .

3) Приравниваем:
$-\dfrac{p}{2} = -4 \implies p = 8$ .

4) Подставляем $p = 8$ в каноническое уравнение:
$x^2 = -2 \cdot 8 \cdot y \implies x^2 = -16y$ .

Ответ: $x^2 = -16y$ .

Тренажёры по теме «Парабола» на Экзамео

Закрепите свойства и основные характеристики параболы как кривой второго порядка за 11 класс на практике с помощью онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все задания составлены в соответствии с программой углублённого изучения математики. К каждому заданию вы найдёте подробное решение, которое поможет разобраться в теме и уверенно применять свойства параболы на практике.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы