Первообразная - таблица первообразных и тренажеры

На этой странице представлен исчерпывающий учебно-практический справочник по теме «Первообразная и неопределённый интеграл» по алгебре и началам анализа для 11 класса. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить операцию, обратную дифференцированию, выучить полную таблицу первообразных, научиться применять основные правила интегрирования и уверенно сдавать самостоятельные и контрольные работы, а также ЕГЭ по математике.

В курсе алгебры 11 класса тема первообразных открывает раздел интегрального исчисления. Если дифференцирование позволяет по известной функции найти её скорость изменения (производную), то отыскание первообразной решает обратную задачу: восстанавливает саму функцию по её производной.

Теоретический справочник: первообразная и неопределённый интеграл

Рассмотрим базовые определения, основное свойство первообразных и полное справочное руководство по элементарным функциям.

1. Определение и основное свойство первообразной

Определение первообразной 🎯

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке $X$ , если для всех $x \in X$ выполняется равенство:

$$F'(x) = f(x)$$

Основное свойство первообразных:

Если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$ , то любая другая первообразная имеет вид $F(x) + C$ , где $C \in \mathbb{R}$ — произвольная постоянная (константа).

Понятие неопределённого интеграла:

Множество всех первообразных для функции $f(x)$ называется её неопределённым интегралом и обозначается символом:

\int f(x) \, dx = F(x) + C

2. Полная таблица первообразных (11 класс алгебра)

Ниже представлена полная таблица первообразных для 11 класса, содержащая все основные формулы алгебры и математического анализа:

Функция $f(x)$

Общий вид первообразных $F(x) + C$

Запись в виде неопределённого интеграла

Число (константа) $k$

$kx + C$

$\int k \, dx = kx + C$

Степенная $x^p \quad (p \neq -1)$

$\dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C$

$\int x^p \, dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C$

Обратно пропорциональная $\dfrac{1}{x}$

$\ln|x| + C$

$\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

Корень $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$2\sqrt{x} + C$

$\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C$

Показательная с экспонентой $e^x$

$e^x + C$

$\int e^x \, dx = e^x + C$

Показательная общего вида $a^x$

$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$

$\int a^x \, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$

Синус $\sin x$

$-\cos x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

Косинус $\cos x$

$\sin x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Дробно-тригонометрическая $\dfrac{1}{\cos^2 x}$

$\mathrm{tg}\,x + C$

$\int \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx = \mathrm{tg}\,x + C$

Дробно-тригонометрическая $\dfrac{1}{\sin^2 x}$

$-\mathrm{ctg}\,x + C$

$\int \dfrac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\mathrm{ctg}\,x + C$

3. Правила отыскания первообразных

При выполнении заданий самостоятельных и контрольных работ за 11 класс применяются три основных правила:

1. Первообразная суммы: Первообразная суммы равна сумме первообразных:
если $f(x) \to F(x)$ и $g(x) \to G(x)$ , то $(f(x) + g(x)) \to F(x) + G(x)$ .

2. Вынос постоянного множителя: Постоянный множитель выносится за знак первообразной:
если $f(x) \to F(x)$ , то $k \cdot f(x) \to k \cdot F(x)$ .

3. Первообразная с линейным аргументом $f(kx + b)$ :
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ , то для функции $f(kx + b)$ первообразная равна:
$$\dfrac{1}{k} F(kx + b)$$
(Не забывайте делить на коэффициент $k$ перед аргументом $x$ !)

Как найти конкретную первообразную через точку? 💡

В контрольных работах за 11 класс часто просят «найти первообразную функции $f(x)$ , график которой проходит через точку $M(x_0; y_0)$ ».
Алгоритм прост:
1. Запишите общий вид первообразных: $F(x) + C$ .
2. Подставьте координаты точки $M$ : $F(x_0) + C = y_0$ .
3. Найдите числовое значение $C$ и подставьте его обратно в формулу!

Пошаговый алгоритм отыскания первообразной

При решении заданий по теме «Первообразная» в 11 классе придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Упростите выражение функции: раскройте скобки, приведите слагаемые к виде степеней $x^p$ или базовых функций из таблицы.

Найдите первообразные для каждого слагаемого: используйте формулы из таблицы первообразных и правила выноса коэффициента.

Учтите линейный аргумент $kx + b$ : домножьте результат на $\dfrac{1}{k}$ , если внутри функции находится линейное выражение. Добавьте константу $+ C$ .

Разбор типовых задач из контрольных работ за 11 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 11 классе.

Пример 1: Нахождение общего вида первообразных функции

Задание: Найдите общий вид первообразных для функции $f(x) = 4x^3 - 3\cos x + e^{2x}$ .

Подробное решение:

1) Для $4x^3$ : первообразная равна $4 \cdot \dfrac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \dfrac{x^4}{4} = x^4$ .

2) Для $-3\cos x$ : первообразная равна $-3\sin x$ .

3) Для $e^{2x}$ : аргумент имеет вид $kx$ со значением $k = 2$ . По правилу линейного аргумента получаем $\dfrac{1}{2} e^{2x}$ .

4) Составим общий вид первообразных:
$F(x) = x^4 - 3\sin x + \dfrac{1}{2}e^{2x} + C$ .

Ответ: $F(x) = x^4 - 3\sin x + 0{,}5 e^{2x} + C$ .

Пример 2: Отыскание первообразной, проходящей через заданную точку (Контрольная работа)

Задание: Найдите первообразную функции $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 2$ , график которой проходит через точку $M\left(\dfrac{\pi}{4}; 3\right)$ .

Подробное решение:

1) По таблице первообразных найдем общий вид $F(x)$ :
$F(x) = \mathrm{tg}\,x - 2x + C$ .

2) Подставим координаты точки $M\left(x = \dfrac{\pi}{4}, y = 3\right)$ в уравнение первообразной:
$\mathrm{tg}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} + C = 3$ .

3) Вычислим значения:
$1 - \dfrac{\pi}{2} + C = 3 \implies C = 3 - 1 + \dfrac{\pi}{2} = 2 + \dfrac{\pi}{2}$ .

4) Запишем искомую первообразную:
$F(x) = \mathrm{tg}\,x - 2x + 2 + \dfrac{\pi}{2}$ .

Ответ: $F(x) = \mathrm{tg}\,x - 2x + 2 + \dfrac{\pi}{2}$ .

Тренажёры по теме «Первообразная» на Экзамео

Закрепите формулы и правила вычисления первообразных на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные карточки, презентационные материалы и проверочные тесты по теме «Первообразная и интеграл» за 11 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни вариантов самостоятельных и контрольных работ с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре за 11 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за контрольные работы!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы