Сфера и шар 11 класс - вся теория, формулы и задачи с решениями

Тема «Сфера и шар» в 11 классе — один из центральных разделов стереометрии, который связывает тела вращения, планиметрические свойства окружности и координатно-векторные методы в пространстве. На этой странице подробно изложен теоретический материал школьного курса по теме геометрии сфера и шар: от фундаментальных определений и уравнений до сечений плоскостью, касательных плоскостей и ключевых формул объёма и площади, а также открыт доступ к интерактивному онлайн-тренажёру с пошаговыми подсказками для подготовки к контрольным работам и ЕГЭ.

Главное различие, с которого начинается освоение темы: сфера — это геометрическое место точек пространства, равноудалённых от заданной точки (то есть исключительно поверхность или «оболочка»), в то время как шар — это тело, состоящее из сферы и всех внутренних точек пространства, ограниченных ею. Таким образом, у сферы рассчитывают площадь поверхности, а у шара — как площадь граничной сферы, так и объём заполненного пространства.

Базовые понятия темы «Сфера и шар 11 класс»

• Центр сферы и шара ( $O$ ): фиксированная точка пространства, от которой измеряется расстояние до любой точки поверхности.

• Радиус сферы и шара ( $R$ ): отрезок, соединяющий центр с любой точкой сферы (а также длина этого отрезка). Все радиусы одной сферы строго равны между собой.

• Диаметр сферы и шара ( $D$ ): отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр. Длина диаметра вдвое больше радиуса: $D = 2R$ .

• Хорда: отрезок, соединяющий две произвольные точки сферы. Диаметр является наибольшей из возможных хорд.

Основные формулы: площадь сферы и объём шара

При решении задач школьной программы и экзаменов используются две главные формулы, связывающие сфера и шар радиус площадь поверхности и объём:

Формула 1

Поверхность шара и сферы

Площадь сферы радиуса $R$ равна учетверённой площади её большого круга:

S = 4\pi R^2 = \pi D^2

Формула 2

Объём шара

Объём шара радиуса $R$ выражается через куб радиуса:

V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{1}{6}\pi D^3

Теоретический справочник: сечения, касание и координаты

Для глубокого понимания геометрии сферы и шара раскройте блоки с ключевыми теоремами стереометрии:

1. Сечение сферы и шара плоскостью (теорема о сечении)

Теорема: Всякое сечение шара плоскостью есть круг (а сечение сферы плоскостью — окружность). Центр этого круга является основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Пусть шар имеет радиус $R$ , а секущая плоскость удалена от центра шара на расстояние $d$ ( $d < R$ ). Тогда:

• Радиус сечения ( $r$ ): находится из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R$ , расстоянием $d$ и радиусом сечения $r$ по теореме Пифагора:

r = \sqrt{R^2 - d^2}

• Большой круг: если плоскость проходит через центр шара ( $d = 0$ ), радиус сечения равен радиусу шара ( $r = R$ ). Такое сечение называют большим кругом (а его границу — большой окружностью). Площадь большого круга равна $S_{\text{б.к.}} = \pi R^2$ .

• Малый круг: если плоскость не проходит через центр ( $0 < d < R$ ), полученное сечение называют малым кругом, и его радиус строго меньше $R$ .

2. Взаимное расположение сферы и плоскости

Пусть $d$ — расстояние от центра сферы радиуса $R$ до плоскости $\alpha$ . Возможны ровно три геометрических случая:

1. $d > R$ (плоскость не пересекает сферу): сфера и плоскость не имеют общих точек.

2. $d = R$ (касательная плоскость): плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку (точку касания). Радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

3. $d < R$ (секущая плоскость): плоскость пересекает сферу по окружности радиуса $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ .

3. Уравнение сферы в прямоугольной системе координат

В пространственной прямоугольной системе координат точка $M(x; y; z)$ принадлежит сфере радиуса $R$ с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ тогда и только тогда, когда расстояние $CM = R$ .

• Каноническое уравнение сферы:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2

• Центр в начале координат ( $0; 0; 0$ ): уравнение принимает вид $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ .

• Неравенство шара: точки шара удовлетворяют условию $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \le R^2$ .

4. Части шара: сегмент, сектор и слой

• Шаровой сегмент: часть шара, отсекаемая от него секущей плоскостью. Отрезок высоты сегмента обозначается $h$ .

• Площадь сферического сегмента: $S_{\text{сегм}} = 2\pi R h$ .

• Объём шарового сегмента: $V_{\text{сегм}} = \pi h^2 \left(R - \dfrac{h}{3}\right)$ .

• Шаровой сектор: тело, полученное вращением кругового сектора вокруг оси. Состоит из шарового сегмента и конуса с общей вершиной в центре шара. Его объём: $V_{\text{сект}} = \dfrac{2}{3}\pi R^2 h$ , где $h$ — высота соответствующего сегмента.

• Шаровой слой: часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

Примеры решения задач для 11 класса на сферу и шар

Ниже приведены подробные решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 11 классе:

Задача 1: Сечение шара плоскостью и теорема Пифагора

Условие: Шар радиуса $25\text{ см}$ пересечён плоскостью на расстоянии $15\text{ см}$ от центра. Найдите длину окружности полученного сечения и его площадь.

Пошаговое решение:

1) Обозначим параметры шара: радиус $R = 25\text{ см}$ , расстояние от центра до секущей плоскости $d = 15\text{ см}$ .

2) Сечением шара плоскостью является круг. Найдём его радиус $r$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, соединяющего центр шара, центр сечения и точку на границе сечения:

r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\text{ см}

3) Вычислим длину окружности сечения ( $C = 2\pi r$ ):

C = 2\pi \cdot 20 = 40\pi\text{ см}

4) Вычислим площадь круга сечения ( $S = \pi r^2$ ):

S = \pi \cdot 20^2 = 400\pi\text{ см}^2

Ответ: длина окружности $40\pi\text{ см}$ , площадь сечения $400\pi\text{ см}^2$ .

Задача 2: Изменение площади поверхности сферы при изменении радиуса

Условие: Во сколько раз увеличится площадь поверхности сферы, если её диаметр увеличить в $3$ раза?

Пошаговое решение:

1) Площадь сферы выражается через радиус как $S = 4\pi R^2$ , а через диаметр ( $D = 2R$ ) как $S = \pi D^2$ .

2) Пусть начальный диаметр равен $D_1$ , тогда начальная площадь $S_1 = \pi D_1^2$ .

3) При увеличении диаметра в $3$ раза новый диаметр равен $D_2 = 3D_1$ .

4) Найдём новую площадь сферы $S_2$ :

S_2 = \pi D_2^2 = \pi (3D_1)^2 = \pi \cdot 9D_1^2 = 9 \cdot (\pi D_1^2) = 9S_1

5) Найдём отношение площадей:

\dfrac{S_2}{S_1} = 9

(Общее правило подобия: площадь поверхности геометрического тела масштабируется пропорционально квадрату линейного коэффициента: $k^2 = 3^2 = 9$ . При этом объём шара вырос бы в $k^3 = 3^3 = 27$ раз).

Ответ: в 9 раз.

Задача 3: Нахождение расстояния до секущей плоскости по площади сечения

Условие: Площадь поверхности сферы равна $100\pi$ . Плоскость пересекает сферу по окружности, площадь круга которой равна $9\pi$ . Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости.

Пошаговое решение:

1) По формуле площади сферы $S = 4\pi R^2$ найдём радиус сферы $R$ :

100\pi = 4\pi R^2 \implies R^2 = \dfrac{100\pi}{4\pi} = 25 \implies R = 5

2) Зная площадь сечения $S_{\text{сеч}} = \pi r^2 = 9\pi$ , найдём радиус окружности сечения $r$ :

\pi r^2 = 9\pi \implies r^2 = 9 \implies r = 3

3) Найдём расстояние от центра сферы до плоскости $d$ по формуле Пифагора $d = \sqrt{R^2 - r^2}$ :

d = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

Ответ: 4.

Задача 4: Уравнение сферы и проверка положения точки

Условие: Сфера задана уравнением $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49$ . Найдите координаты центра и диаметр сферы. Лежит ли точка $M(1; 4; 3)$ на этой сфере?

Пошаговое решение:

1) Сравним заданное уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ :

• $x_0 = 1$

• $y_0 = -2$ (так как $y + 2 = y - (-2)$ )

• $z_0 = 3$

• $R^2 = 49 \implies R = 7$

Центр сферы имеет координаты $C(1; -2; 3)$ , а диаметр равен $D = 2R = 2 \cdot 7 = 14$ .

2) Подставим координаты точки $M(1; 4; 3)$ в левую часть уравнения сферы:

(1 - 1)^2 + (4 + 2)^2 + (3 - 3)^2 = 0^2 + 6^2 + 0^2 = 36

3) Так как $36 \neq 49$ (а именно $36 < 49$ ), точка $M$ не лежит на поверхности сферы, а находится строго внутри соответствующего шара.

Ответ: центр $C(1; -2; 3)$ , диаметр равен 14; точка $M$ не лежит на сфере.

Пошаговый алгоритм решения стереометрических задач

Чтобы уверенно справляться с контрольными заданиями по стереометрии, действуйте по универсальному алгоритму:

Определите объект задачи: чётко разграничьте, что рассматривается в условии — сфера (поверхность, площадь $4\pi R^2$ , сечение-окружность) или шар (пространственное тело, объём $\frac{4}{3}\pi R^3$ , сечение-круг).

Постройте осевое сечение: плоскость, проходящая через центр шара перпендикулярно секущей плоскости, даёт плоский прямоугольный треугольник со сторонами $d$ (расстояние до плоскости), $r$ (радиус сечения) и $R$ (радиус шара).

Примените теорему Пифагора: свяжите величины формулой $R^2 = d^2 + r^2$ и выразите недостающий элемент.

Контролируйте радиус и диаметр: при нахождении диаметра не забудьте умножить радиус на 2 ( $D = 2R$ ), а при подстановке диаметра в формулы делите его пополам.

Типичные ошибки в 11 классе

При решении стереометрических задач старшеклассники чаще всего допускают три характерные ошибки:

Путаница площади сферы и объёма шара

Забывают степень радиуса или коэффициент: площадь поверхности сферы всегда квадратична ( $S = 4\pi R^2$ ), а объём шара всегда кубичен ( $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ ).

Ошибки с радиусом и диаметром сечения

Подставляют в теорему Пифагора диаметр вместо радиуса или путают радиус шара $R$ с радиусом сечения $r$ . Помните, что гипотенузой прямоугольного треугольника всегда является радиус шара $R$ !

Ошибки со знаками в координатах центра сферы

В каноническом уравнении $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ знаки координат центра инвертируются. Например, для скобки $(y + 2)^2$ координата центра равна $y_0 = -2$ , а не $+2$ .

Тренажёр и тесты по теме «Сфера и шар» на Экзамео

Чтобы надёжно закрепить теоретический материал и подготовиться к контрольным работам по геометрии в 11 классе, переходите к интерактивным задачам на образовательной платформе Экзамео. В систему загружены разноуровневые задания на нахождение радиуса и диаметра сферы, расчёт площадей сечений, объёмов частей шара и уравнений сферы в пространстве. Тренируйтесь регулярно, разбирайте подробные решения и будьте уверены в отличных оценках по стереометрии!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы