Теорема Менелая: формулировка, доказательство, применение и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Теорема Менелая» по геометрии для 11 класса. Теория составлена таким образом, что подойдет и для 8 класса и для олимпиадной подготовки по математике.

Теорема Менелая — это один из главных «секретных инструментов» в арсенале старшеклассника. Хотя в базовой школьной программе её часто проходят обзорно, при сдаче ЕГЭ и олимпиад по математике именно применение теоремы Менелая позволяет сэкономить время и решить сложную задачу на отношение отрезков буквально в одно действие, избегая громоздких дополнительных построений.

Теоретический справочник - всё про теорему Менелая

Ниже подробно разобрана формулировка прямой теоремы Менелая для треугольника с удобной запоминалкой - порядком обхода. Так же рассмотрено доказательство, связь с теоремой Чевы и примеры задач.

Формулировка теоремы Менелая для треугольника

Прямая теорема Менелая 🎯

Если прямая (секущая $KMP$ ) пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $P$ , а продолжение стороны $AC$ — в точке $K$ , то произведение отношений длин соответствующих отрезков равно единице:

\dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BP}{PC} \cdot \dfrac{CK}{KA} = 1

Запоминалка: Правило «Вершина — Точка — Вершина» 💡

Чтобы не запутаться, как правильно составить дробь теоремы Менелая, двигайтесь по периметру треугольника по кругу от вершины к вершине через точки пересечения на прямых:

\text{Вершина } A \to \text{Точка } M \to \text{Вершина } B \to \text{Точка } P \to \text{Вершина } C \to \text{Точка } K \to \text{Вершина } A

Визуально порядок обхода треугольника для теоремы Менелая выглядит следующим образом:

Теорема Менелая порядок обхода треугольника

Записывайте отрезки по очереди:

\dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BP}{PC} \cdot \dfrac{CK}{KA} = 1

Строгое доказательство теоремы Менелая (через параллельные прямые)

Доказательство:

1) Пусть секущая прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $C_1$ и $A_1$ , а продолжение стороны $AC$ — в точке $B_1$ .

2) Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную секущей $C_1B_1$ , и обозначим точку её пересечения со стороной $AC$ как $D$ ( $BD \parallel C_1B_1$ ).

3) По теореме Фалеса о пропорциональных отрезках для угла $A$ получаем: $\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB_1}{B_1D}$ .

4) По теореме Фалеса для угла $C$ получаем: $\dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{DB_1}{B_1C}$ .

5) Перемножим эти две пропорции и отношение $\dfrac{CB_1}{B_1A}$ : $\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \left(\dfrac{AB_1}{B_1D}\right) \cdot \left(\dfrac{DB_1}{B_1C}\right) \cdot \left(\dfrac{CB_1}{B_1A}\right) = 1$ .

Теорема полностью доказана.

Связка: Теорема Чевы и Менелая

В планиметрии Теорема Чевы и теорема Менелая идут парой, потому что их формулировки достаточно близки, но решают противоположные геометрические задачи:

Параметр

Теорема Менелая

Теорема Чевы

Геометрический объект

Прямая (секущая), пересекающая 3 стороны/продолжения

Три чевианы (отрезка), выходящие из вершин к сторонам

Ключевое условие

Три точки пересечения лежат на одной прямой

Три чевианы пересекаются в одной точке

Формула произведения

$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

В каких задачах применяется теорема Менелая?

Важно отметить, что в общую школьную программу теорема Менелая не входит и встречается она только при углубленном изучении геометрии в 8 классе, 10 классе и в 11 классе, что конечно делает её использование в геометрических задачах необязательным, но очень эффектным.

Применение теоремы Менелая охватывает три широких класса задач по геометрии, которые могут встречаться во второй части ЕГЭ, как в планиметрии, так и в стереометрических задачах, а так же на дополнительных вступительных испытаниях в вузы и на олимпиадах:

1. Задачи на отношение отрезков медиан, биссектрис и чевиан:

Когда две чевианы или медианы пересекаются, мы можем рассмотреть одну из них как секущую для треугольника, образованного другой чевианой, и моментально найти отношение отрезков.

2. Задачи на отношение площадей (Задание второй части ЕГЭ):

Площади треугольников с общими высотами относятся как их основания. Находя через теорему Менелая отношение отрезков оснований, мы легко находим соотношения площадей любых частей фигуры.

3. Стереометрические задачи на сечения пирамид и призм:

При построениях сечений секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым линиям. Применяя теорему Менелая к плоским граням пирамиды или призмы, мы находим точные координаты точек пересечения ребер плоскостью сечения!

Пошаговый алгоритм применения теоремы Менелая

В задачах на теорему Менелая есть две проблемы: нужно понять, что задача решается именно через неё и правильно записать обход треугольника для составления выражения, именно поэтому, для того, чтобы безошибочно применять теорему Менелая в задачах, используйте алгоритм:

Порядок действий:

Выберите базовый треугольник: выделите на чертеже треугольник $ABC$ , стороны которого пересекаются прямой.

Найдите секущую прямую и 3 точки пересечения: отметьте точки пересечения прямых сторон с секущей линиями.

Запишите равенство произведений отношений: пройдите по кругу по правилу «Вершина — Точка — Вершина», подставьте известные значения и выразьте искомый отрезок.

Разбор типовых задач профильного ЕГЭ по математике

Рассмотрите подробные решения задач, как пример оформления

Пример 1: Нахождение отношения отрезков медианы секущей прямой (Задание 1)

Задание: В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK : KB = 1 : 2$ . Медиана $AM$ пересекает отрезок $CK$ в точке $O$ . Найдите отношение $AO : OM$ .

Подробное решение:

1) Рассмотрим $\triangle ABM$ и прямую $CK$ , которая является секущей для сторон этого треугольника.

2) Точки пересечения секущей $CK$ с прямыми сторон $\triangle ABM$ :
• На стороне $AB$ — точка $K$ ;
• На стороне $AM$ — точка $O$ ;
• На продолжении стороны $BM$ — точка $C$ .

3) Запишем теорему Менелая для $\triangle ABM$ и секущей $K-O-C$ :

\dfrac{AK}{KB} \cdot \dfrac{BC}{CM} \cdot \dfrac{MO}{OA} = 1

4) Из условия задачи знаем отрезки:
• $\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{1}{2}$ ;
• Так как $M$ — середина $BC$ , то $BM = MC \implies BC = 2 MC \implies \dfrac{BC}{CM} = \dfrac{2}{1}$ .

5) Подставим эти значения в равенство Менелая:

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{MO}{OA} = 1 \implies 1 \cdot \dfrac{MO}{OA} = 1 \implies MO = OA

6) Следовательно, точка $O$ делит медиану пополам, а отношение $AO : OM = 1 : 1$ .

Ответ: $1 : 1$ .

Пример 2: Расчет отношений площадей треугольников (Задание 17 ЕГЭ)

Задание: На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$ такие, что $AM : MB = 3 : 1$ и $BN : NC = 2 : 3$ . Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $P$ . Найдите, какую часть площадь треугольника $APC$ составляет от площади треугольника $ABC$ .

Подробное решение:

1) Применим теорему Менелая к $\triangle ABN$ и секущей $M-P-C$ :

\dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BC}{CN} \cdot \dfrac{NP}{PA} = 1

2) Из условий $AM : MB = 3 : 1$ и $BN : NC = 2 : 3 \implies BC = 5$ , $NC = 3 \implies \dfrac{BC}{CN} = \dfrac{5}{3}$ .

3) Подставим в формулу Менелая:

\dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{NP}{PA} = 1 \implies 5 \cdot \dfrac{NP}{PA} = 1 \implies \dfrac{NP}{PA} = \dfrac{1}{5}

4) Значит, отрезок $PA = 5 \cdot NP$ , а весь отрезок $AN = 6 \cdot NP \implies \dfrac{AP}{AN} = \dfrac{5}{6}$ .

5) Площадь $\triangle ANC$ составляет $\dfrac{3}{5}$ от площади $\triangle ABC$ (так как $NC : BC = 3 : 5$ ).
А площадь $\triangle APC$ составляет $\dfrac{5}{6}$ от площади $\triangle ANC$ (общая высота из вершины $C$ ):

S_{\triangle APC} = \dfrac{5}{6} S_{\triangle ANC} = \dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{3}{5} S_{\triangle ABC}\right) = \dfrac{3}{6} S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} S_{\triangle ABC}

Ответ: $\dfrac{1}{2}$ (половину площади).

Тренажёры по теме «Теорема Менелая» на Экзамео

Закрепите применение теоремы Менелая для треугольника на практике с помощью онлайн-тренажёров на образовательной платформе Экзамео. Все геометрические задачи теме «Теорема Менелая» за 11 класс составлены строго в соответствии со школьной программой, актуальным банком ФИПИ и спецификациями профильного ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены задачи с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы