Усечённый конус 11 класс: объём, площадь поверхности и формулы

На этой странице представлен разбор темы «Усечённый конус: формулы объёма, площади поверхности и решение задач» для 11 класса.

В курсе стереометрии 11 класса и в экзаменационных вариантах ЕГЭ усечённый конус относится к телам вращения с двумя параллельными круговыми основаниями. Задачи на вычисление объёма усечённого конуса, нахождение площади его боковой и полной поверхности, а также расчёт высоты и образующей регулярно встречаются в стереометрических заданиях первой части и при моделировании составных пространственных тел во второй части.

Здесь подробно разобраны основные элементы фигуры, осевое сечение в виде равнобедренной трапеции, вывод формул без громоздкого заучивания через подобие конусов и типичные ошибки вычислений.

После теории на странице доступны тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов, в которых можно отработать вычисления и подготовиться к контрольным работам и экзамену.

Что такое усечённый конус? — 11 класс

Усечённый конус — это часть полного прямого кругового конуса, заключённая между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию. Также его можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной основаниям.

• Основания: два параллельных круга разного радиуса — нижнее основание радиуса $R_1$ и верхнее основание радиуса $R_2$ ( $R_1 > R_2$ ).

• Высота ( $h$ ): расстояние между параллельными плоскостями оснований (отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего кругов).

• Образующая ( $l$ ): отрезок, соединяющий граничные точки окружностей оснований. Все образующие прямого усечённого конуса равны между собой.

• Связь элементов через теорему Пифагора: образующая, высота и разность радиусов образуют прямоугольный треугольник: $l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$ .

Осевое сечение и связь элементов

Сечение усечённого конуса плоскостью, проходящей через ось симметрии (центры обоих оснований), называется осевым сечением. Осевое сечение всегда представляет собой равнобедренную трапецию со следующими параметрами:

Элементы трапеции сечения 📐

• Нижнее основание трапеции: $2R_{}$ (диаметр нижнего круга).

• Верхнее основание трапеции: $2r_{}$ (диаметр верхнего круга).

• Боковые стороны трапеции: образующие $l$ .

• Высота трапеции: высота конуса $h$ .

Формулы связи $h$ , $l$ и радиусов 🔍

Опустив высоту из вершины верхнего основания на нижнее, получаем катет, равный разности радиусов $(R - r)$ :

l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}

h = \sqrt{l^2 - (R - r)^2}

Объём усечённого конуса

Объём усечённого конуса зависит от высоты $h$ и площадей обоих оснований. В зависимости от условия задачи используют следующие формулы:

Формула

Запись

Когда применять

Через радиусы оснований

$V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right)$

Основная расчётная формула, когда известны радиусы обоих оснований $R_1$ , $R_2$ и высота $h$ .

Через площади оснований

$V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)$

Применяется, если заданы площади кругов оснований $S_1$ и $S_2$ или для усечённых пирамид.

Метод разности объёмов

$V = V_{\text{полн}} - V_{\text{отсеч}}$

Удобно применять в задачах, где конус достраивается до полного и используется подобие.

Разберём решение задачи на вычисление объёма усечённого конуса:

Пример применения: Расчёт объёма усечённого конуса через радиусы

Задание: Радиусы оснований усечённого конуса равны $6$ и $3$ , а его образующая равна $5$ . Найдите объём усечённого конуса. В ответе укажите $\dfrac{V}{\pi}$ .

Пошаговый разбор:

1) Найдём высоту конуса:

Разность радиусов: $R_1 - R_2 = 6 - 3 = 3$ .

Из прямоугольного треугольника в осевом сечении:

h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

2) Применим формулу объёма усечённого конуса:

V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right)

3) Вычислим выражение в скобках:

R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 = 6^2 + 6 \cdot 3 + 3^2 = 36 + 18 + 9 = 63

4) Рассчитаем итоговый объём:

V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 63 = 4 \cdot 21 \cdot \pi = 84\pi

5) По требованию задачи делим на $\pi$ : $\dfrac{V}{\pi} = 84$ .

Ответ: $84$ .

Площадь поверхности и развёртка

Полная поверхность усечённого конуса складывается из двух плоских круговых оснований и криволинейной боковой поверхности. Развёртка боковой поверхности усечённого конуса представляет собой часть кругового кольца (круговой сектор с вырезанным меньшим концентрическим сектором).

Формулы площадей поверхностей:

• Площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l

где $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований, $l$ — длина образующей.

• Площади оснований:

S_{\text{осн1}} = \pi R_1^2,\quad S_{\text{осн2}} = \pi R_2^2

• Площадь полной поверхности:

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн1}} + S_{\text{осн2}} = \pi \left((R_1 + R_2)l + R_1^2 + R_2^2\right)

[ Место для иллюстрации: Развёртка усечённого конуса — сектор кругового кольца (боковая поверхность) и два круга оснований разных радиусов ]

Посмотрим на примере, как находится площадь боковой поверхности:

Пример применения: Нахождение площади боковой поверхности усечённого конуса

Задание: Диаметры оснований усечённого конуса равны $14$ и $6$ , а высота равна $3$ . Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса. В ответе укажите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$ .

Пошаговый разбор:

1) Найдём радиусы оснований:

R_1 = \dfrac{14}{2} = 7,\quad R_2 = \dfrac{6}{2} = 3

2) Найдём образующую $l$ :

Разность радиусов: $R_1 - R_2 = 7 - 3 = 4$ .

По теореме Пифагора для образующей:

l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

3) Вычислим площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l = \pi (7 + 3) \cdot 5 = \pi \cdot 10 \cdot 5 = 50\pi

4) Делим на $\pi$ : $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 50$ .

Ответ: $50$ .

Алгоритм решения задач на усечённый конус

При решении стереометрических задач придерживайтесь следующего порядка действий:

Перейдите к осевому сечению: нарисуйте равнобедренную трапецию с основаниями $2R_1$ и $2R_2$ , высотой $h$ и боковыми сторонами $l$ .

Проверьте радиусы: если в условии даны диаметры, разделите их на 2, чтобы получить чистые радиусы $R_1$ и $R_2$ .

Найдите недостающий линейный размер: свяжите образующую и высоту через прямоугольный треугольник: $l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$ .

Подставьте величины в нужную формулу: для объёма используйте неполный квадрат суммы радиусов $(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$ , для боковой поверхности — полусумму длин окружностей.

Проверьте формат записи ответа: обратите внимание, требуется ли разделить итоговое число на $\pi$ .

Типичные ошибки при решении задач

При решении задач на усечённый конус школьники чаще всего допускают следующие ошибки:

Удвоенное произведение в формуле объёма

Ошибочная запись полного квадрата $(R_1 + R_2)^2 = R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2$ . В правильной формуле объёма коэффициент перед $R_1 R_2$ равен единице: $(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$ .

Путаница между диаметрами и радиусами

Прямая подстановка диаметров оснований вместо радиусов приводит к завышению вычисленного объёма в 4 раза.

Забытые основания в полной площади

Нахождение площади только боковой поверхности вместо полной, либо учёт только одного нижнего основания. Полная поверхность обязательно включает оба круга: $\pi R_1^2 + \pi R_2^2$ .

Задания на усечённый конус на платформе Экзамео

Ниже собраны тренажёры с практическими заданиями по теме «Усечённый конус: объём и площади поверхностей» для 11 класса. К каждому заданию предложены пошаговые решения, поясняющие чертежи и автоматическая проверка ответов, что поможет отработать решение задач и подготовиться к экзаменам.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы