Натуральные числа 5 класс: правила, ряд чисел, ноль и примеры. Конспект урока

На этой странице представлен подробный конспект урока и наглядный учебный справочник по теме «Натуральные числа и число нуль» для учащихся 5 класса. Методисты платформы Экзамео составили этот материал в полном соответствии с учебной программой по математике , чтобы помочь пятиклассникам легко разобраться в понятии счёта, свойствах натурального ряда чисел, сравнении величин и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам.

В курсе математики 5 класса натуральные числа являются первой и фундаментальной темой. Именно с них начинается изучение всех последующих разделов: арифметических действий, уравнений, текстовых задач и геометрических вычислений. Понимание того, как устроен натуральный ряд и какое место в математике занимает число ноль, гарантирует уверенность на уроках и отличные оценки за проверочные работы.

Что такое натуральные числа? — 5 класс

Натуральные числа — это числа, которые используются людьми для счёта предметов (один, два, три, четыре и так далее).

• Самое маленькое натуральное число: это единица ( $1$ ). С неё начинается счёт любых предметов.

• Самого большого натурального числа не существует: к любому числу всегда можно прибавить единицу и получить ещё большее число.

• Число ноль ( $0$ ) НЕ является натуральным числом: число ноль означает отсутствие предметов, при счёте предметов мы никогда не начинаем с нуля.

Натуральный ряд чисел и его свойства

Если записать все натуральные числа по порядку в порядке возрастания, мы получим последовательность, которая называется рядом натуральных чисел (или натуральным рядом):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, \ldots

Многоточие в конце записи означает, что этот ряд можно продолжать бесконечно. У натурального ряда есть четыре строгих математических свойства:

1. Первое число и шаг ряда 📏

Первым числом натурального ряда всегда является единица ( $1$ ). Каждое следующее число получается прибавлением единицы к предыдущему ( $n + 1$ ).

2. Бесконечность ряда ♾️

В натуральном ряду нет последнего (самого большого) числа. Сколько бы мы ни считали, натуральный ряд продолжается бесконечно.

Число ноль и натуральный ряд 💡

Число $0$ не входит в натуральный ряд чисел. Однако при счёте предметов ноль означает «ни одного предмета». Если к натуральным числам добавить число $0$ , то в математике такую совокупность называют «целые неотрицательные числа»: $0, 1, 2, 3, 4, \ldots$

[ Место для иллюстрации: Числовой луч с началом отсчёта в точке 0 и единичными отрезками для натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 с направлением стрелки в бесконечность ]

Посмотрим на реальном примере из самостоятельной работы 5 класса, как работают правила натурального ряда:

Пример применения: Определение натуральных чисел и предшествующих значений

Задание: Из предложенного списка чисел выпишите только натуральные числа: $0;\ 15;\ \dfrac{2}{3};\ 104;\ 3{,}5;\ 1;\ 2026$ . Для каждого выписанного натурального числа назовите предыдущее и последующее число в натуральном ряду.

Пошаговый разбор:

1) Отберём натуральные числа (целые числа, используемые при счёте предметов):

• Число $0$ — не натуральное (означает отсутствие предметов).

• Числа $\dfrac{2}{3}$ и $3{,}5$ — дроби, дробные числа не являются натуральными.

• Натуральными являются числа: $1$ , $15$ , $104$ , $2026$ .

2) Определим соседние числа в натуральном ряду (предыдущее: $n - 1$ , последующее: $n + 1$ ):

• Для числа $1$ : предыдущего натурального числа нет (единица — начало ряда!), последующее — $2$ .

• Для числа $15$ : предыдущее — $14$ , последующее — $16$ .

• Для числа $104$ : предыдущее — $103$ , последующее — $105$ .

• Для числа $2026$ : предыдущее — $2025$ , последующее — $2027$ .

Ответ: Натуральные числа: $1, 15, 104, 2026$ .

Действия с натуральными числами и роль нуля

С натуральными числами можно выполнять четыре основных арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. При этом число ноль и число единица обладают уникальными законами взаимодействия:

Действие

Формула с буквой a

Числовой пример

Главное правило

Сложение с нулём

$a + 0 = a$
$0 + a = a$

$48 + 0 = 48$

Прибавление нуля не изменяет число.

Вычитание нуля

$a - 0 = a$
$a - a = 0$

$75 - 0 = 75$
$75 - 75 = 0$

Если вычесть ноль, число не изменится. Если вычесть само число, получится ноль.

Умножение на 0 и 1

$a \cdot 1 = a$
$a \cdot 0 = 0$

$19 \cdot 1 = 19$
$19 \cdot 0 = 0$

Умножение на единицу сохраняет число. Умножение любого числа на ноль даёт ноль.

Деление с нулём

$0 : a = 0$
Делить на 0 нельзя!

$0 : 12 = 0$
$12 : 0 \to \text{ошибка}$

Ноль разделить на любое натуральное число будет ноль. Деление на ноль строго запрещено!

Закрепим законы вычислений с нулём и единицей на практической задаче:

Пример применения: Упрощение выражений со свойствами нуля и единицы

Задание: Найдите значение числового выражения: $(456 \cdot 1 - 456) \cdot 789 + (0 : 54) + 12 \cdot 1$ .

Пошаговый разбор:

1) Выполним действия в скобках:

$456 \cdot 1 = 456$ (умножение на единицу не меняет число).

$456 - 456 = 0$ (вычитание равных чисел даёт ноль).

2) Умножим полученный ноль на следующее число:

$0 \cdot 789 = 0$ (умножение на ноль всегда даёт ноль).

3) Вычислим деление нуля:

$0 : 54 = 0$ (ноль разделить на любое натуральное число даёт ноль).

4) Вычислим последнее произведение:

$12 \cdot 1 = 12$ .

5) Сложим все результаты:

$0 + 0 + 12 = 12$ .

Ответ: $12$ .

Правила сравнения натуральных чисел

Сравнить два натуральных числа — значит определить, какое из них больше, какое меньше или они равны между собой. Для сравнения натуральных чисел в 5 классе используют два основных правила:

Правило 1: По числу знаков 🔢

Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше цифр (знаков) в записи.

Пример: пятизначное число $10\ 234$ больше четырёхзначного $9\ 876$ , так как $5 \text{ знаков} > 4 \text{ знаков}$ .

Правило 2: По старшим разрядам 📊

Если количество цифр одинаковое, числа сравнивают поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда.

Пример: сравним $4\ 582$ и $4\ 569$ . Тысячи и сотни равны ( $4 = 4$ , $5 = 5$ ), но десятки отличаются ( $8 > 6$ ). Значит, $4\ 582 > 4\ 569$ .

Сравнение с помощью натурального ряда:

Из двух натуральных чисел меньшим является то, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим — то, которое появляется позже.

Любое натуральное число всегда больше нуля ( $n > 0$ ). Число ноль меньше любого натурального числа.

Разберём практическую задачу на поразрядное сравнение величин:

Пример применения: Расположение натуральных чисел в порядке возрастания

Задание: Запишите числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему): $503\ 201$ , $53\ 400$ , $503\ 199$ , $9\ 999$ , $504\ 000$ .

Пошаговый разбор:

1) Посчитаем количество знаков в каждом числе:

• $9\ 999$ — 4 знака (самое маленькое число).

• $53\ 400$ — 5 знаков (следующее по величине).

• $503\ 201$ , $503\ 199$ , $504\ 000$ — по 6 знаков.

2) Сравним шестизначные числа по разрядам слева направо:

• Первые две цифры у всех одинаковые: сотни тысяч ( $5$ ) и десятки тысяч ( $0$ ).

• Смотрим на разряд единиц тысяч: у чисел $503\ 201$ и $503\ 199$ здесь цифра $3$ , а у $504\ 000$ — цифра $4$ . Значит, $504\ 000$ — наибольшее среди шестизначных.

• Сравниваем сотни у оставшихся: в числе $503\ 199$ одна сотня ( $1$ ), а в числе $503\ 201$ две сотни ( $2$ ). Значит, $503\ 199 < 503\ 201$ .

3) Запишем итоговый упорядоченный ряд:

$9\ 999 < 53\ 400 < 503\ 199 < 503\ 201 < 504\ 000$ .

Ответ: $9\ 999;\ 53\ 400;\ 503\ 199;\ 503\ 201;\ 504\ 000$ .

История возникновения счёта: от зарубок до нуля

Счёт возник в глубокой древности, когда первобытным людям потребовалось учитывать добычу, поголовье скота в стаде или количество собранных плодов. Первыми инструментами для счёта были пальцы рук и ног, а также зарубки на костях животных и узелки на верёвках.

Изобретение нуля в Индии 🇮🇳

Слово «натуральный» происходит от латинского слова natura — «природа». Но число $0$ появилось гораздо позже остальных чисел. Его придумали древнеиндийские математики в V веке нашей эры как знак отсутствия разряда в записи чисел. До этого люди просто оставляли пустое место!

Арабские цифры ✍️

Цифры, которыми мы пользуемся каждый день ( $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ), называют арабскими, хотя родились они в Индии. Арабские учёные перевели индийские математические книги, а затем через труды купцов эта десятичная позиционная система распространилась по всей Европе.

Чтобы успешно справляться с заданиями контрольных и самостоятельных работ по теме «Натуральные числа», придерживайтесь следующего алгоритма:

Алгоритм решения заданий на натуральные числа

Проверьте, является ли число натуральным: отбросьте ноль, отрицательные числа и любые дроби (десятичные или обыкновенные). Натуральными могут быть только целые положительные числа счёта ( $1, 2, 3, \ldots$ ).

Для поиска соседних чисел используйте шаг 1: чтобы найти предшествующее число, вычтите единицу ( $n - 1$ ). Чтобы найти последующее — прибавьте единицу ( $n + 1$ ). Помните, что у числа $1$ нет предыдущего натурального числа!

При сравнении посчитайте количество цифр: число с большим количеством знаков всегда больше числа с меньшим количеством знаков.

Помните главное табу деления: ноль можно умножать и прибавлять, но на ноль делить нельзя ни при каких обстоятельствах!

Типичные ошибки пятиклассников в теме «Натуральные числа»

При выполнении самостоятельных работ по математике в 5 классе школьники чаще всего допускают следующие три ошибки:

Включение нуля в натуральные числа

Считать ноль наименьшим натуральным числом — грубейшая ошибка. Мы не начинаем считать яблоки или тетради со слова «ноль». Наименьшее натуральное число — это единица ( $1$ ), а $0$ натуральным числом не является!

Поиск предшественника для единицы

В заданиях вида «Назовите число, предшествующее единице в натуральном ряду» часто пишут ноль. Но так как нуля в натуральном ряду нет, правильный ответ: у числа 1 в натуральном ряду нет предыдущего числа.

Путаница между умножением на ноль и сложением с нулём

Путать результаты: $5 + 0 = 5$ , но $5 \cdot 0 = 0$ . Умножение любого числа на ноль полностью «обнуляет» результат!

Тренажёры по теме «Натуральные числа» для 5 класса

Ниже собраны тренажеры по теме натуральные числа для 5 класса с подробными решениями и объяснениями, чтобы помочь лучше разобраться в теме. Для каждого задания доступна автоматическая проверка.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы