Представление числовой информации на графиках - примеры

На странице собраны подробные учебные материалы по математике «Представление числовой информации на графиках» для 6 класса. Методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами и примерами, чтобы помочь шестиклассникам понять, как наглядно изображать зависимости между величинами, научиться правильно строить и читать графики движения, изменения температуры и роста, различать прямую и обратную зависимости, а также успешно подготовиться к контрольным работам и ВПР.

В 6 классе умение представлять данные на графиках — это важнейший практический навык: ученики переходят от сухих таблиц с числами к наглядным линиям и кривым, которые позволяют мгновенно отслеживать динамику процессов и анализировать изменения.

Что такое график и зачем он нужен? — 6 класс

График — это наглядное чертёжное изображение зависимости между двумя величинами на координатной плоскости.

• Независимая величина (аргумент): откладывается по горизонтальной оси $x$ (абсцисса) — например, время, возраст, температура окружающей среды;
• Зависимая величина (значение): откладывается по вертикальной оси $y$ (ордината) — например, пройденный путь, рост, масса, начисленная плата;
• Точка на графике: каждая точка с координатами $(t; S)$ или $(t; T)$ показывает точное значение зависимой величины в данный момент времени;
• Главный плюс: график позволяет мгновенно увидеть наивысшие и наименьшие значения (пики и спады), а также периоды застоя или остановки.

[ Место для иллюстрации 1: Общая схема графика на координатной плоскости с горизонтальной осью $x$ (независимая переменная), вертикальной осью $y$ (зависимая переменная) и нанесением точечной зависимости ]

Примеры графиков вокруг нас:

График движения: показывает, какое расстояние $S$ проехал автомобиль за время $t$ .

Разбор графика движения: История одной поездки велосипедиста

График движения позволяет во всех деталях восстановить путь объекта. Рассмотрим, как на графике отражаются разные этапы прогулки велосипедиста:

🚴‍♂️ Подробный анализ этапов поездки:

1. Старт и спокойная езда (0–1 ч): велосипедист выехал из дома и за $1$ час проехал $12\text{ км}$ . Его скорость на этом участке составляла $12\text{ км/ч}$ . График умеренно наклонен вверх.

2. Ускорение (1–2 ч): дорога стала ровной, и за следующий $1$ час он проехал ещё $18\text{ км}$ (оказавшись на расстоянии $30\text{ км}$ от дома). Линия графика стала круче — скорость выросла до $18\text{ км/ч}$ .

3. Встреча с друзьями и привал (2–3,5 ч): велосипедист встретил друзей и оставался на месте $1,5$ часа ( $90\text{ минут}$ ). Расстояние от дома не менялось ( $30\text{ км}$ ), поэтому на графике образовался горизонтальный плоский участок ( $v = 0\text{ км/ч}$ ).

4. Возвращение домой (3,5–5 ч): велосипедист отправился в обратный путь и за $1,5$ часа вернулся в исходную точку. Расстояние от дома равномерно уменьшалось до $0$ , а линия графика пошла вниз с постоянным наклоном (постоянная скорость $30 : 1,5 = 20\text{ км/ч}$ ).

[ Место для иллюстрации 2: График движения велосипедиста $S(t)$ с выделенными 4 участками: «Скорость 12 км/ч», «Разгон до 18 км/ч», «Встреча с друзьями (привал 1.5 ч)», «Возвращение домой (20 км/ч)» ]

Прямая и обратная зависимости на графиках

На графиках отчетливо виден характер связи между величинами — прямая или обратная пропорциональность:

Прямая зависимость 📈

• Суть: с увеличением одной величины в несколько раз другая величина увеличивается во столько же раз ( $y = kx$ ).

• Вид графика: прямая линия, выходящая из начала координат $(0;0)$ .

• Пример: зависимость пройденного пути от времени при постоянной скорости ( $S = v \cdot t$ ) или стоимости покупки от количества товара.

Обратная зависимость 📉

• Суть: с увеличением одной величины в несколько раз другая величина уменьшается во столько же раз ( $y = \frac{k}{x}$ ).

• Вид графика: плавная падающая кривая (гипербола), которая приближается к осям, но не пересекает их.

• Пример: зависимость времени движения от скорости при постоянном пути ( $t = \frac{S}{v}$ ) или количества рабочих от времени выполнения работы.

[ Место для иллюстрации 3: Два графика бок о бок — слева прямая линия через (0;0) для прямой пропорциональности, справа плавно спадающая кривая (гипербола) для обратной пропорциональности ]

Как извлекать числовую информацию из графика

График заменяет длинные таблицы чисел. Чтобы извлечь из него нужные данные, мы находим точку на линии графика и определяем её координаты:

Вопрос к графику

Действия на координатной плоскости

Результат

Какое расстояние проехал объект за $3$ часа?

Находим $t = 3$ на оси $x$ , поднимаемся до графика и смотрим значение по оси $y$

$S = 180\text{ км}$

Сколько времени длилась привал / стоянка?

Измеряем длину горизонтального (плоского) участка графика по оси времени $x$

Стоянка от $2$ до $3,5$ ч $\implies 1,5\text{ часа}$

В каком возрасте рост ребёнка составил $120\text{ см}$ ?

Находим $y = 120$ на оси $y$ , двигаемся вправо до пересечения с линией графика и опускаемся на ось $x$

Возраст $t = 7\text{ лет}$

Пошаговый алгоритм построения графика по табличным данным

Чтобы начертить верный график процесса по таблице значений, придерживайтесь следующего алгоритма:

Порядок действий:

Начертите оси координат и подпишите их: горизонтальную ось подпишите названием независимой величины (например, Время $t$ , ч), а вертикальную — названием зависимой величины (Расстояние $S$ , км).

Выберите единичный отрезок (масштаб): выберите удобную длину клетки (например, $1\text{ клетка} = 1\text{ час}$ по оси $x$ и $1\text{ клетка} = 10\text{ км}$ по оси $y$ ).

Отметьте точки из таблицы: для каждой пары значений $(x; y)$ из таблицы постройте точку на координатной сетке.

Соедините точки плавным отрезком или ломаной линией: соедините построенные точки по порядку слева направо.

Разбор практических примеров

Рассмотрите подробные образцы решения задач по теме «Представление числовой информации на графиках» из школьной программы 6 класса.

Пример 1: Анализ графика движения пешехода

Задание: На графике показано движение пешехода. За первые $2$ часа он прошёл $8\text{ км}$ , затем сделал привал на $1\text{ час}$ , а после привала за $2$ часа прошёл ещё $6\text{ км}$ . Определите среднюю скорость движения пешехода на всём пути (включая остановку).

Подробное решение:

1) Найдем общее пройденное расстояние $S_{\text{всего}}$ :

$S_{\text{всего}} = 8 + 6 = 14\text{ км}$ .

2) Найдем общее затраченное время $t_{\text{всего}}$ :

Первый участок: $2\text{ ч}$ .

Привал: $1\text{ ч}$ .

Второй участок: $2\text{ ч}$ .

$t_{\text{всего}} = 2 + 1 + 2 = 5\text{ часов}$ .

3) Вычислим среднюю скорость:

$v_{\text{ср}} = S_{\text{всего}} : t_{\text{всего}} = 14 : 5 = 2,8\text{ км/ч}$ .

Ответ: Средняя скорость пешехода составила $2,8\text{ км/ч}$ .

Пример 2: Анализ графика изменения температуры за сутки

Задание: По графику температуры определили, что в $0:00$ температура составляла $-4^\circ\text{C}$ , в $6:00$ она опустилась до самой низкой отметки $-6^\circ\text{C}$ , в $14:00$ достигла максимума $+5^\circ\text{C}$ , а к $22:00$ снизилась до $0^\circ\text{C}$ . Определите суточный перепад (разницу между максимумом и минимумом) температуры.

Подробное решение:

1) Находим максимальное значение температуры $T_{\max}$ :

$T_{\max} = +5^\circ\text{C}$ (в $14:00$ ).

2) Находим минимальное значение температуры $T_{\min}$ :

$T_{\min} = -6^\circ\text{C}$ (в $6:00$ ).

3) Находим перепад температуры (разность):

$\Delta T = T_{\max} - T_{\min} = 5 - (-6) = 5 + 6 = 11^\circ\text{C}$ .

Ответ: Суточный перепад температуры составил $11^\circ\text{C}$ .

Тренажёры по теме «Представление числовой информации на графиках» на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены онлайн-тренажёры по теме «Представление числовой информации на графиках» для 6 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на чтение графиков движения, температуры, роста и массы, определение прямых и обратных зависимостей составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по математике за 6 класс и требованиями ФГОС!