Симметрия - осевая и центральная симметрия, разбор темы

На странице собраны подробные учебные материалы по математике и наглядной геометрии «Симметрия» для 6 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, алгоритмами и наглядными примерами, чтобы помочь шестиклассникам разобраться в понятиях осевой и центральной симметрии, научиться строить симметричные точки и фигуры на клетчатой бумаге и координатной плоскости, а также успешно подготовиться к самостоятельным работам, контрольным работам и ВПР.

В 6 классе тема «Симметрия» сочетает геометрию, алгебру и окружающий мир: ученики учатся видеть гармонию и пропорциональность в природе, архитектуре и технике, а также осваивают точные алгоритмы геометрических построений.

Что такое симметрия и какие её виды изучают в 6 классе?

Симметрия (в переводе с греческого — «соразмерность») — это закономерное расположение равных частей фигуры относительно прямой линии или точки.

• Осевая симметрия (симметрия относительно прямой): отображение, при котором прямая (ось $l$ ) работает как зеркало;
• Центральная симметрия (симметрия относительно точки): отображение относительно фиксированной точки (центра $O$ ), при котором фигура поворачивается на $180^\circ$ ;
• Сохранение размеров: при любом виде симметрии фигуры остаются равными (сохраняются расстояния между точками, длины отрезков и величины углов).

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $l$ , если прямая $l$ перпендикулярна отрезку $AA_1$ и проходит через его середину.

Ось симметрии 🪞

Прямая $l$ называется осью симметрии. Если перегнуть чертеж по линии оси $l$ , то симметричные фигуры полностью совпадут!

• Точки, лежащие на самой оси $l$ , при осевой симметрии остаются на месте ( $A = A_1$ ).

Фигуры с осью симметрии 📐

У фигур может быть одна или несколько осей симметрии:

• Одна ось: равнобедренный треугольник, угол, угол с биссектрисой.

• Две оси: прямоугольник, ромб.

• Четыре оси: квадрат.

• Бесконечно много: окружность и круг.

Центральная симметрия (симметрия относительно точки)

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно точки $O$ , если точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$ . Точка $O$ называется центром симметрии.

Фигура

Наличие центра симметрии

Где расположен центр $O$

Отрезок

Имеет центр симметрии

Середина отрезка

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Имеют центр симметрии

Точка пересечения диагоналей

Окружность и круг

Имеют центр симметрии

Центр окружности

Произвольный треугольник

НЕ имеет центра симметрии

Отсутствует

Центральная симметрия для 6 класса - подробная иллюстрация

Симметрия на координатной плоскости

При построении симметричных точек на координатной плоскости для точки $A(x; y)$ действуют простые математические правила смены знаков координат:

Ось $Ox$ (абсцисс)

Меняется знак ординаты $y$ :

A(x; y) \implies A_1(x; -y)

Пример: $A(3; 4) \implies A_1(3; -4)$

Ось $Oy$ (ординат)

Меняется знак абсциссы $x$ :

A(x; y) \implies A_2(-x; y)

Пример: $A(3; 4) \implies A_2(-3; 4)$

Начало $O(0;0)$

Меняются знаки обеих координат:

A(x; y) \implies A_3(-x; -y)

Пример: $A(3; 4) \implies A_3(-3; -4)$

Пошаговый алгоритм построения симметричной фигуры

Чтобы построить фигуру (например, треугольник $A_1B_1C_1$ ), симметричную данной фигуре $ABC$ , придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Выделите вершины исходной фигуры: найдите ключевые точки (вершины треугольника, многоугольника) $A, B, C$ .

Постройте симметричную точку для каждой вершины:

• Для осевой симметрии: опустите перпендикуляр из вершины на ось и отложите равный отрезок по другую сторону осей.

• Для центральной симметрии: проведите луч из вершины через центр $O$ и отложите за центром равный отрезок.

Поставьте новые точки и подпишите их: получим вершины $A_1, B_1, C_1$ .

Последовательно соедините полученные вершины отрезками: получим симметричную фигуру $A_1B_1C_1$ , равную исходной.

Разбор практических примеров по определению симметрии

Рассмотрите подробные образцы решения задач по теме «Симметрия» из программы 6 класса.

Пример 1: Построение симметричной точки на координатной плоскости

Задание: Дана точка $M(-5; 2)$ . Найдите координаты точек $M_1$ и $M_2$ , если $M_1$ симметрична точке $M$ относительно оси ординат ( $Oy$ ), а $M_2$ симметрична точке $M$ относительно начала координат $O(0;0)$ .

Подробное решение:

1) Для симметрии относительно оси $Oy$ (ординат):

Меняем знак абсциссы $x$ на противоположный, ординату $y$ оставляем без изменений:

$x = -(-5) = 5$ , $y = 2 \implies M_1(5; 2)$ .

2) Для симметрии относительно начала координат $O(0;0)$ :

Меняем знаки обеих координат на противоположные:

$x = -(-5) = 5$ , $y = -2 \implies M_2(5; -2)$ .

Ответ: $M_1(5; 2)$ , $M_2(5; -2)$ .

Пример 2: Определение количества осей симметрии правильного многоугольника

Задание: Сколько осей симметрии имеет квадрат и имеет ли он центр симметрии?

Подробное решение:

1) Определяем оси симметрии:

У квадрата $4$ оси симметрии:

• $2$ прямые, проходящие через середины противоположных сторон;

• $2$ прямые, содержащие его диагонали.

2) Определяем центр симметрии:

Квадрат имеет центр симметрии — это точка пересечения его диагоналей.

Ответ: Квадрат имеет $4$ оси симметрии и центр симметрии в точке пересечения диагоналей.

Тренажёры по теме «Симметрия» для 6 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены онлайн-тренажёры по теме «Симметрия» для 6 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на построение симметричных точек и фигур относительно прямой и точки, определение осей симметрии плоских фигур и нахождение координат симметричных объектов составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой за 6 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Симметрия 6 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по математике вместе с нами!