Линейные диофантовы уравнения в целых числах - разбор, примеры

На этой странице собраны подробные учебные материалы по алгебре и олимпиадной математике «Линейные диофантовы уравнения» (уравнения в целых числах) для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео подготовили захватывающий практический справочник с историческими фактами, понятными схемами и алгоритмами, чтобы помочь семиклассникам освоить подходы к решению уравнений с несколькими неизвестными в целых числах и подготовиться к успеху на олимпиадах!

В 7 классе диофантовы уравнения — это первый шаг в настоящую «взрослую» математику: они учат смотреть на уравнения под новым углом, соединяя стандартную алгебру с делимостью, логикой и свойствами целых чисел.

Что такое диофантово уравнение и почему оно особенное? — 7 класс

Обычно в 7 классе мы привыкли, что одно уравнение с двумя неизвестными (например, $2x + 3y = 12$ ) имеет бесконечно много решений среди любых дробных чисел. Но в диофантовых уравнениях правила меняются!

• Определение: Линейное диофантово уравнение — это уравнение вида $ax + by = c$ , где коэффициенты $a, b, c$ — целые числа, и его решения $(x; y)$ требуется найти исключительно в целых (или натуральных) числах;
• Главный секрет делимости: уравнение $ax + by = c$ имеет решения в целых числах только тогда, когда свободный член $c$ нацело делится на наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ — $\gcd(a, b)$ ;
• Олимпиадный секрет: так как предметы в реальности нельзя разрезать (нельзя купить $1,5$ машины или $\frac{2}{3}$ человека), именно к диофантовым уравнениям сводится большинство математических головоломок.

Интересный факт из истории:

Задачи такого типа умели решать еще в Древнем Вавилоне более $4000$ лет назад!

А назвал их в честь себя древнегреческий математик Диофант Александрийский (III век н.э.), который описал общие способы их решения в своей знаменитой книге «Арифметика».

Где линейные диофантовы уравнения встречаются в жизни?

Посмотрим, где мы сталкиваемся с уравнениями в целых числах в реальных жизненных ситуациях:

1. Покупки и размен денег 💵

Оплата товара купюрами определённых номиналов без сдачи.

Пример: Набрать покупку на $170\text{ рублей}$ монетами по $20\text{ руб}$ и $50\text{ руб}$ : $20x + 50y = 170$ .

2. Упаковка и фасовка 📦

Фасовка предметов по упаковкам разной вместимости.

Пример: Разложить $100\text{ кг}$ конфет в большие коробки по $8\text{ кг}$ и малые по $5\text{ кг}$ ровно без остатка: $8x + 5y = 100$ .

3. Подсчёт очков в спорте 🏆

Подсчёт результатов соревнований.

Пример: Набрать $23$ очка в баскетболе, забивая только $2$ -очковые и $3$ -очковые броски: $2x + 3y = 23$ .

3 простейших метода решения диофантовых уравнений в 7 классе

Для семиклассников существует 3 доступных и эффективных метода решения диофантовых уравнений вида $ax + by = c$ :

Метод

Суть метода

Когда удобно применять

1. Выражение переменной и выделение целой части

Выражаем переменную с меньшим коэффициентом (например $y = \dfrac{c - ax}{b}$ ), выделяем целые числа и требуем, чтобы остаток был целым.

Универсальный метод для большинства задач.

2. Анализ чётности и последней цифры

Используем свойства чётности (четное + нечётное = нечётное) или окончание чисел на $0$ и $5$ (при коэффициенте $5$ или $10$ ).

Когда один из коэффициентов равен $2, 5$ или $10$ .

3. Ограниченный перебор

Оцениваем границы возможного изменения $x$ или $y$ (например, $5x \le 34 \implies x \le 6$ ) и перебираем единичные варианты.

Когда ищутся решения только в натуральных числах.

Пошаговый алгоритм решения диофантова уравнения

Чтобы быстро и без ошибок решить линейное диофантово уравнение в 7 классе, придерживайтесь этого порядка действий:

Порядок действий:

Проверьте делимость: найдите $\gcd(a, b)$ . Если свободный член $c$ не делится на $\gcd(a, b)$ , сразу пишите: «Решений в целых числах нет».

Выразите одну переменную через другую: лучше выражать ту букву, перед которой стоит меньший коэффициент.

Найдите подбором первое частное решение $(x_0, y_0)$ , удовлетворяющее условию целых чисел.

Запишите общую формулу всех решений: $x = x_0 + bk$ , $y = y_0 - ak$ (где $k \in \mathbb{Z}$ ) или отберите варианты, если требуются только положительные натуральные числа.

Разбор задач на диофантовы уравнения

Рассмотрите подробные образцы решения олимпиадных задач на диофантовы уравнения из программы 7 класса.

Пример 1: Задача про покупку пирожных и сока

Условие: Школьник купил несколько пирожных по $40\text{ рублей}$ и несколько банок сока по $25\text{ рублей}$ , потратив ровно $230\text{ рублей}$ . Сколько пирожных и соков он мог купить?

Подробное решение:

1) Составим уравнение в натуральных числах:

Пусть $x$ — количество пирожных ( $x \in \mathbb{N}$ ), $y$ — количество банок сока ( $y \in \mathbb{N}$ ).

$$40x + 25y = 230$$

2) Упростим уравнение (сократим обе части на $5$ ):

$$8x + 5y = 46$$

3) Используем метод анализа последней цифры:

Слагаемое $5y$ всегда оканчивается на $0$ или $5$ .

Число $46$ оканчивается на $6$ .

Значит, слагаемое $8x$ должно оканчиваться на $6$ (так как $6 - 0 = 6$ ) или на $1$ (невозможно, $8x$ — чётное).

Чтобы $8x$ оканчивалось на $6$ , значение $x$ может оканчиваться только на $2$ или $7$ (ведь $8 \cdot 2 = 16$ , $8 \cdot 7 = 56$ ).

4) Проверим возможные варианты для $x$ :

• Если $x = 2$ : $8 \cdot 2 + 5y = 46 \implies 16 + 5y = 46 \implies 5y = 30 \implies y = 6$ .

• Если $x = 7$ : $8 \cdot 7 + 5y = 46 \implies 56 + 5y = 46 \implies 5y = -10$ (не подходит, так как $y > 0$ ).

Ответ: Школьник купил $2$ пирожных и $6$ банок сока.

Пример 2: Решение уравнения в целых числах способом выделения целой части

Условие: Найдите все пары целых чисел $(x; y)$ , удовлетворяющие уравнению $3x - 7y = 1$ .

Подробное решение:

1) Выразим переменную $x$ с меньшим коэффициентом ( $3$ ):

$3x = 1 + 7y$

$x = \dfrac{1 + 7y}{3} = \dfrac{6y + y + 1}{3} = 2y + \dfrac{y + 1}{3}$

2) Чтобы $x$ был целым числом, дробь $\dfrac{y + 1}{3}$ должна быть целым числом $k \in \mathbb{Z}$ :

$\dfrac{y + 1}{3} = k \implies y + 1 = 3k \implies y = 3k - 1$

3) Подставим $y = 3k - 1$ в выражение для $x$ :

$x = 2(3k - 1) + k = 6k - 2 + k = 7k - 2$

4) Запишем общее решение в целых числах:

$x = 7k - 2$ , $y = 3k - 1$ , где $k \in \mathbb{Z}$ .

Примеры пар: при $k = 0 \implies (-2; -1)$ , при $k = 1 \implies (5; 2)$ , при $k = -1 \implies (-9; -4)$ .

Ответ: $x = 7k - 2$ , $y = 3k - 1$ , где $k \in \mathbb{Z}$ .

Тренажёры по диофантовым уравнениям для 7 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Линейные диофантовы уравнения (в целых числах)» для 7 класса с подробными авторскими объяснениями и автоматической проверкой ответов. Задания на метод перебора, выделение целой части, свойства чётности и интересные олимпиадные текстовые задачи составлены в точном соответствии с требованиями математических олимпиад и ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Диофантовы уравнения 7 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, прокачивайте олимпиадное мышление и побеждайте на математических турнирах вместе с нами!