Понятие действительного числа - разбор темы

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Понятие действительного числа» по алгебре для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядной иерархией числовых множеств, правилами представления чисел в виде десятичных дробей, свойствами действительных чисел и подробным разбором типовых задач из контрольных работ и ВПР.

Тема «Действительные числа» объединяет и завершает школьное представление о числах. В 7 классе происходит важный переход от рациональных чисел к непрерывной числовой прямой, на которой у каждой точки есть своё уникальное действительное число.

Теоретический справочник: иерархия числовых множеств

Ниже подробно разобрана структура действительных чисел и классификация всех известных математике чисел.

Как устроено множество действительных чисел

Множество действительных чисел (ℝ) 🎯

Действительные (вещественные) числа — это множество всех чисел, состоящее из рациональных и иррациональных чисел. Обозначается заглавной латинской буквой $\mathbb{R}$ .

• Натуральные числа ( $\mathbb{N}$ ): числа, используемые при счёте предметов ( $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ ).

• Целые числа ( $\mathbb{Z}$ ): натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль ( $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$ ).

• Рациональные числа ( $\mathbb{Q}$ ): числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби $\dfrac{m}{n}$ (где $m \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$ ). В виде десятичной дроби это конечные или бесконечные периодические дроби (например: $0{,}75$ , $-\frac{1}{3} = -0{,}333\dots = -0{(3)}$ ).

• Иррациональные числа ( $\mathbb{I}$ ): числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Это бесконечные непериодические десятичные дроби (например: $\pi = 3{,}1415926\dots$ , $\sqrt{2} = 1{,}414213\dots$ , $0{,}1010010001\dots$ ).

Числовые множества вложены друг в друга как матрёшка или концентрические окружности: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Любое целое число является рациональным, а любое рациональное — действительным.

Обозначим множества числе на рисунке в виде концентрических окружностей

Множество действительных чисел на рисунке в виде самой большой окружности

Ключевое отличие рациональных и иррациональных чисел! 💡

Каждое действительное число можно записать в виде десятичной дроби:
- Если дробь конечная или периодическая (например, $0{,}25$ или $0{,}333\dots$ ) — перед нами рациональное число.
- Если дробь бесконечная и непериодическая (цифры после запятой идут без повторяющегося цикла) — перед нами иррациональное число.

Действительные числа и числовая прямая

Главное геометрическое свойство действительных чисел — непрерывность числовой прямой:

Каждой точке координатной прямой соответствует ровно одно действительное число, и наоборот: каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на координатной прямой. Между действительными числами и точками прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Применение действительных чисел в жизни и науке

В отличие от натуральных чисел (служащих только для штучного счёта), действительные числа описывают непрерывный физический мир.

Физика и Измерения 📏

Длина, масса, температура, время и скорость — это непрерывные величины. Точные измерения никогда не бывают идеально целыми, они выражаются действительными числами (например, длина диагонали квадрата со стороной $1$ м равна $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ м).

Компьютерные вычисления 💻

В программировании действительные числа хранятся в виде типов с плавающей точкой (`float`, `double`). На них работают 3D-графика, физические движки в играх и траектории полёта космических кораблей.

Пошаговый алгоритм сравнения действительных чисел

Чтобы сравнить два действительных числа, представленных десятичными дробями, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Сравните знаки чисел: любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа и нуля.

Сравните целые части: если целые части положительных чисел различны, то больше то число, целая часть которого больше.

Сравнивайте разряды после запятой: если целые части равны, поочерёдно сравнивайте разряды десятичных знаков слева направо (десятые, сотые, тысячные). Больше то число, у которого в первом несовпавшем разряде стоит большая цифра.

Разбор типовых примеров из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе.

Пример 1: Определить, к каким множествам относятся числа

Задание: Из чисел $-7$ ; $0$ ; $3{,}14$ ; $0{,}121221222\dots$ ; $\dfrac{5}{9}$ ; $\sqrt{5}$ выпишите отдельно: а) целые числа; б) рациональные числа; в) иррациональные числа.

Подробное решение:

1) Целые числа ( $\mathbb{Z}$ ): $-7$ ; $0$ .

2) Рациональные числа ( $\mathbb{Q}$ ): $-7$ ; $0$ ; $3{,}14$ (конечная дробь); $\dfrac{5}{9}$ (обыкновенная дробь).

3) Иррациональные числа ( $\mathbb{I}$ ): $0{,}121221222\dots$ (бесконечная непериодическая дробь); $\sqrt{5}$ (корень не извлекается нацело).

Ответ: а) $-7, 0$ ; б) $-7, 0, 3{,}14, \frac{5}{9}$ ; в) $0{,}121221222\dots, \sqrt{5}$ .

Пример 2: Сравнение действительных чисел

Задание: Сравните действительные числа $a = 2{,}3574\dots$ и $b = 2{,}3581\dots$

Подробное решение:

1) Целые части чисел совпадают: $2 = 2$ .

2) Десятые совпадают: $3 = 3$ .

3) Сотые совпадают: $5 = 5$ .

4) Сравниваем тысячные: у числа $a$ в разряде тысячных стоит $7$ , у числа $b$ — $8$ . Так как $7 < 8$ , то $a < b$ .

Ответ: $2{,}3574\dots < 2{,}3581\dots$

Тренажёры по действительным числам на Экзамео

Закрепите классификацию и свойства чисел с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, самостоятельные и проверочные карточки по теме «Понятие действительного числа» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре.

В базе платформы представлены задачи разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно сдавайте любые контрольные работы и экзамены!