Приближения чисел: с недостатком, с избытком, округление и погрешность

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Приближения чисел и погрешность приближения» по алгебре и математике для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео подготовили этот практический материал с наглядным объяснением приближений с недостатком и с избытком, правилами округления, вычислением абсолютной и относительной погрешностей, десятичными приближениями иррациональных чисел и подробным разбором типовых задач из контрольных работ и ВПР.

Тема «Приближения чисел» имеет важнейшее практическое значение: в реальной жизни, физике и технике точные значения измеряемых величин или бесконечных дробей заменить невозможно. Понимание правил приближения и оценки погрешности избавляет от грубых ошибок при расчётах и измерениях.

Всё о приближении и округлении чисел

Приближением числа $x$ называется такое число $a$ , которое мало отличается от точного значения $x$ (записывается: $x \approx a$ ).

Приближения с недостатком и с избытком

Приближение числа $x$ числом $a$ может быть двух видов в зависимости от того, с какой стороны от точного значения располагается приближённое число:

Виды приближений чисел 🎯

• Приближение с недостатком: число $a$ меньше точного значения $x$ ( $a < x$ ). Для получения десятичного приближения с недостатком просто отбрасывают все цифры после нужного разряда (отбрасывание хвоста).

• Приближение с избытком: число $b$ больше точного значения $x$ ( $x < b$ ). Для получения десятичного приближения с избытком отбрасывают цифры после нужного разряда и увеличивают последнюю оставшуюся цифру на $1$ .

• Округление числа: выбор между приближением с недостатком или с избытком по правилу: если первая из отбрасываемых цифр $0, 1, 2, 3, 4$ — берется приближение с недостатком; если $5, 6, 7, 8, 9$ — с избытком.

Пример для числа $x = 3{,}14159\dots$ :

• Десятичное приближение до сотых с недостатком: $3{,}14$

• Десятичное приближение до сотых с избытком: $3{,}15$

• Округление до сотых (следующая цифра $1 < 5$ ): $3{,}14$

• Двойное неравенство (зажим точного значения): $3{,}14 < 3{,}14159\dots < 3{,}15$

Абсолютная и относительная погрешность приближения

Качество приближения оценивается с помощью вычисления погрешности:

Абсолютная погрешность:

Абсолютной погрешностью приближения называются модуль разности между точным значением $x$ и его приближённым значением $a$ :

$\Delta = |x - a|$

Относительная погрешность:

Относительной погрешностью приближения называют отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого (или точного) значения. Обычно выражается в процентах:

$\delta = \dfrac{|x - a|}{|a|} = \dfrac{\Delta}{|a|} \quad \text{или} \quad \delta = \dfrac{\Delta}{|a|} \cdot 100\%$

Десятичные приближения иррациональных чисел

Иррациональные числа (например, $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ ) представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Работать с ними напрямую невозможно, поэтому их заменяют последовательностью десятичных приближений с возрастающей точностью:

Десятичные приближения числа $\sqrt{2} \approx 1{,}414213\dots$ :

• С точностью до $0{,}1$ (до десятых): $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$

• С точностью до $0{,}01$ (до сотых): $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$

• С точностью до $0{,}001$ (до тысячных): $1{,}414 < \sqrt{2} < 1{,}415$

Длина вилки (интервала) с каждым шагом уменьшается в $10$ раз, что позволяет вычислять значения с любой необходимой инженерам точностью.

Пошаговый алгоритм решения задач на округление

При решении задач на приближение чисел за 7 класс придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите заданный разряд: найдите разряд, до которого требуется сделать приближение (до целых, до десятых, до сотых и т.д.).

Запишите приближения с недостатком и с избытком:
- Приближение с недостатком $a$ : отбросьте все цифры после указанного разряда.
- Приближение с избытком $b$ : прибавьте единицу разряда к приближению с недостатком ( $b = a + \text{цена разряда}$ ).

Вычислите абсолютную погрешность: найдите модуль разности точного и приближенного значений $\Delta = |x - a|$ .

Найдите относительную погрешность: разделите абсолютную погрешность $\Delta$ на модуль приближённого числа и умножьте на $100\%$ .

Разбор типовых задач на округление из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельно-контрольных работ и ВПР по алгебре за 7 класс.

Пример 1: Найти приближения дроби с недостатком и с избытком

Задание: Найдите десятичные приближения обыкновенной дроби $\dfrac{4}{7}$ до сотых с недостатком и с избытком.

Подробное решение:

1) Разложим обыкновенную дробь $\dfrac{4}{7}$ в бесконечную десятичную дробь делением уголком:
$\dfrac{4}{7} = 0{,}57142857\dots$

2) Находим приближение до сотых с недостатком (отбрасываем цифры после сотых):
$a = 0{,}57$

3) Находим приближение до сотых с избытком (прибавляем $0{,}01$ ):
$b = 0{,}57 + 0{,}01 = 0{,}58$

4) Записываем двойное неравенство:
$0{,}57 < \dfrac{4}{7} < 0{,}58$

Ответ: с недостатком: $0{,}57$ ; с избытком: $0{,}58$ .

Пример 2: Вычисление абсолютной и относительной погрешности

Задание: Число $x = 2{,}428$ округлили до десятых и получили $a = 2{,}4$ . Найдите абсолютную и относительную погрешности этого приближения.

Подробное решение:

1) Вычисляем абсолютную погрешность $\Delta$ :
$\Delta = |x - a| = |2{,}428 - 2{,}4| = |0{,}028| = 0{,}028$

2) Вычисляем относительную погрешность $\delta$ :
$\delta = \dfrac{\Delta}{|a|} = \dfrac{0{,}028}{2{,}4} = \dfrac{28}{2400} = \dfrac{7}{600} \approx 0{,}01167$

3) Выразим относительную погрешность в процентах:
$\delta \approx 0{,}01167 \cdot 100\% \approx 1{,}17\%$

Ответ: абсолютная погрешность $\Delta = 0{,}028$ ; относительная погрешность $\delta \approx 1{,}17\%$ .

Тренажёры по приближениям чисел на Экзамео

Закрепите правила нахождения приближений и расчета погрешностей на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Приближения чисел и погрешность приближения» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по математике и алгебре.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы