Признаки равенства треугольников

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Признаки равенства треугольников» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить формулировки всех трёх признаков равенства треугольников, выучить их строгие доказательства, научиться находить равные элементы на чертежах и без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Признаки равенства треугольников — это фундамент всей планиметрии. Они позволяют доказывать равенство отрезков и углов, не накладывая фигуры друг на друга физически, а сравнивая всего три ключевых элемента.

Три признака равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. Однако на практике проверяют не все 6 элементов (3 стороны и 3 угла), а выбирают одну из трёх достаточных троек элементов.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

$\begin{cases} AB = A_1B_1 \\ BC = B_1C_1 \\ \angle A = \angle A_1 \end{cases} \implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство первого признака равенства треугольников

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ , у которых $AB = A_1B_1$ , $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$ . Докажем, что эти треугольники совпадут при наложении.

2) Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$ , луч $AC$ пошел по лучу $A_1C_1$ , а луч $AB$ пошел по лучу $A_1B_1$ . Это возможно, так как $\angle A = \angle A_1$ .

3) Так как $AC = A_1C_1$ , точка $C$ совпадёт с точкой $C_1$ . Так как $AB = A_1B_1$ , точка $B$ совпадёт с точкой $B_1$ .

4) Поскольку вершины $B$ и $C$ совпали с вершнинами $B_1$ и $C_1$ , совпадут и отрезки $BC$ и $B_1C_1$ .

5) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совпали при наложении, следовательно, они равны. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам)

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

$\begin{cases} AB = A_1B_1 \\ \angle A = \angle A_1 \\ \angle B = \angle B_1 \end{cases} \implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство второго признака равенства треугольников

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ , у которых $AC = A_1C_1$ , $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$ .

2) Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы точка $A$ совпала с $A_1$ , а отрезок $AC$ пошел по равным ему отрезку $A_1C_1$ . Поскольку $AC = A_1C_1$ , точка $C$ совпадёт с $C_1$ .

3) Так как $\angle A = \angle A_1$ , луч $AB$ пойдет по лучу $A_1B_1$ . Так как $\angle C = \angle C_1$ , луч $CB$ пойдет по лучу $C_1B_1$ .

4) Точка $B$ является единственной точкой пересечения прямых $AB$ и $CB$ . Следовательно, точка $B$ совпадёт с точкой пересечения прямых $A_1B_1$ и $C_1B_1$ , то есть с точкой $B_1$ .

5) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совпали при наложении, а значит, они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам)

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

$\begin{cases} AB = A_1B_1 \\ BC = B_1C_1 \\ AC = A_1C_1 \end{cases} \implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство третьего признака равенства треугольников

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ , у которых $AB = A_1B_1$ , $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$ .

2) Приложим треугольник $A_1B_1C_1$ к треугольнику $ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с $A$ , вершина $C_1$ совпала с $C$ , а вершина $B_1$ и вершина $B$ оказались по разные стороны от прямой $AC$ . Получим треугольник $C1$ -образный (обозначим приложенную вершину как $B_2$ ).

3) Проведём отрезок $BB_2$ . Получим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABB_2$ (так как $AB = AB_2$ ) и $\triangle CBB_2$ (так как $CB = CB_2$ ).

4) По свойству углов при основании равнобедренных треугольников: $\angle ABB_2 = \angle AB_2B$ и $\angle CBB_2 = \angle CB_2B$ .

5) Складывая эти углы, получаем: $\angle B = \angle B_2$ . Следовательно, $\angle B = \angle B_1$ .

6) Теперь у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны стороны $AB = A_1B_1$ , $BC = B_1C_1$ и угол между ними $\angle B = \angle B_1$ . По первому признаку эти треугольники равны. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников! 💡

В прямоугольном треугольнике один угол всегда прямой ( $90^\circ$ ), поэтому для них используются упрощённые признаки:
- По двум катетам (аналог 1 признака).
- По катету и прилежащему острому углу (аналог 2 признака).
- По гипотенузе и острому углу.
- По гипотенузе и катету.

Подробно разбираем здесь: Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пошаговый алгоритм решения задач на признаки равенства

При доказательстве равенства треугольников придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выделите исследуемые треугольники: напишите фразами: «Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ ».

Найдите и выпишите три пары равных элементов: обязательно указывайте причину равенства (по условию, как вертикальные углы, общая сторона и т.д.).

Сделайте вывод: укажите номер признака (например: «Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними)»).

Запишите следствие равенства: из равенства треугольников выпишите нужные равные стороны или углы.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс на равенство треугольников

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Применение первого признака равенства (через вертикальные углы)

Задание: Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ , которая является серединой каждого из них. Докажите, что $AC = BD$ .

[ Место для иллюстрации: Чертеж к задаче — пересекающиеся отрезки AB и CD в середине O и треугольники AOC и BOD ]

Подробное решение:

1) Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ .

2) Найдём 3 пары равных элементов:
• $AO = OB$ (так как $O$ — середина отрезка $AB$ ).
• $CO = OD$ (так как $O$ — середина отрезка $CD$ ).
• $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).

3) Следовательно, $\triangle AOC = \triangle BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AC = BD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Пример 2: Применение второго признака равенства (через общую сторону)

Задание: На биссектрисе угла $A$ взята точка $D$ , а на сторонах угла — точки $B$ и $C$ такие, что $\angle ADB = \angle ADC$ . Докажите, что $BD = CD$ .

Подробное решение:

1) Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ .

2) Выпишем равные элементы:
• $\angle BAD = \angle CAD$ (так как $AD$ — биссектриса угла $A$ ).
• $\angle ADB = \angle ADC$ (по условию задачи).
• $AD$ — общая сторона этих треугольников.

3) Следовательно, $\triangle ABD = \triangle ACD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4) Из равенства треугольников вытекает равенство сторон: $BD = CD$ .Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Тренажёры по признакам равенства треугольников на Экзамео

Закрепите все 3 признака равенства треугольников на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки на доказательство и проверочные тесты по теме «Признаки равенства треугольников» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы