Произведение многочленов - правила, алгоритмы и тренажеры

На странице собраны подробные учебные материалы по алгебре «Произведение многочленов» (умножение многочлена на многочлен) для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, алгоритмами и разобранными примерами, чтобы помочь семиклассникам освоить технику умножения многочленов, научиться правильно приводить подобные слагаемые и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам.

В 7 классе умение находить произведение многочленов — базовый алгоритмический навык: именно на нём основывается вывод формул сокращённого умножения, разложение многочленов на множители и решение сложных алгебраических уравнений.

Правило умножения многочлена на многочлен — 7 класс

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

• Формула в общем виде: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ ;
• Количество одночленов: если в первом многочлене $m$ слагаемых, а во втором $n$ слагаемых, то до приведения подобных слагаемых получится ровно $m \cdot n$ одночленов (например, при умножении двучлена на двучлен получается $2 \cdot 2 = 4$ слагаемых);
• Внимание к знакам: перемножая одночлены, обязательно учитывайте их знаки по правилу: плюс на минус даёт минус, минус на минус даёт плюс.

Такое правило раскрытия скобок при умножении многочлена на многочлен называется правилом фонтанчика, визуально оно выглядит вот так:

Пример схемы умножения двух двучленов:

Выражение $(x + 3)(y - 2)$ раскрывается пошагово по методу фонтанчика:
$x \cdot y + x \cdot (-2) + 3 \cdot y + 3 \cdot (-2) = \mathbf{xy - 2x + 3y - 6}$ .

Наглядная схема применения правила

При умножении многочленов каждое слагаемое из первых скобок последовательно распределяется по всем слагаемым из вторых скобок:

1. Шаг первому слагаемому 🟢

Берем первый член $a$ из первых скобок и умножаем его на все члены вторых скобок:

• $a \cdot c = ac$

• $a \cdot d = ad$

Результат: $ac + ad$

2. Шаг второму слагаемому 🔵

Берем второй член $b$ из первых скобок и умножаем его на все члены вторых скобок:

• $b \cdot c = bc$

• $b \cdot d = bd$

Результат: $bc + bd$

Примеры произведения многочленов разной сложности

Изучите, как на практике умножаются многочлены с отрицательными коэффициентами и различными степенями:

Произведение многочленов

Раскрытие скобок до приведения подобных

Итоговый многочлен

$(a + 4)(a - 3)$

$a \cdot a + a \cdot (-3) + 4 \cdot a + 4 \cdot (-3) = a^2 - 3a + 4a - 12$

$\mathbf{a^2 + a - 12}$

$(2x - 5)(3x + 1)$

$2x \cdot 3x + 2x \cdot 1 - 5 \cdot 3x - 5 \cdot 1 = 6x^2 + 2x - 15x - 5$

$\mathbf{6x^2 - 13x - 5}$

$(y - 2)(y^2 + 2y + 4)$

$y \cdot y^2 + y \cdot 2y + y \cdot 4 - 2 \cdot y^2 - 2 \cdot 2y - 2 \cdot 4 = y^3 + 2y^2 + 4y - 2y^2 - 4y - 8$

$\mathbf{y^3 - 8}$

Пошаговый алгоритм решения произведений многочленов

Чтобы безошибочно перемножить два многочлена, придерживайтесь этого универсального алгоритма:

Порядок действий:

Умножьте первый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, внимательно учитывая знаки.

Умножьте следующий член первого многочлена на каждый член второго многочлена (повторите эту процедуру для всех оставшихся слагаемых).

Запишите полученное выражение в виде единой алгебраической суммы одночленов.

Найдите и приведите подобные слагаемые, записав итоговый многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной).

Разбор практических примеров умножения многочлена на многочлен для 7 класса

Рассмотрите подробные образцы решения заданий по теме «Произведение многочленов» из школьной программы 7 класса.

Пример 1: Упрощение сложного выражения с произведениями многочленов

Задание: Упростите выражение: $(3a - 2)(a + 4) - (a + 1)(3a - 5)$ .

Подробное решение:

1) Выполним умножение первой пары многочленов:

$(3a - 2)(a + 4) = 3a \cdot a + 3a \cdot 4 - 2 \cdot a - 2 \cdot 4 = 3a^2 + 12a - 2a - 8 = 3a^2 + 10a - 8$

2) Выполним умножение второй пары многочленов (оставив результат в скобках, так как перед ними стоит минус):

$(a + 1)(3a - 5) = a \cdot 3a + a \cdot (-5) + 1 \cdot 3a + 1 \cdot (-5) = 3a^2 - 5a + 3a - 5 = 3a^2 - 2a - 5$

3) Составим разность полученных многочленов и раскроем скобки:

$(3a^2 + 10a - 8) - (3a^2 - 2a - 5) = 3a^2 + 10a - 8 - 3a^2 + 2a + 5$

4) Приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - 3a^2) + (10a + 2a) + (-8 + 5) = 12a - 3$

Ответ: $12a - 3$ .

Пример 2: Решение уравнения, содержащего произведение многочленов

Задание: Решите уравнение: $(x + 3)(x - 2) - x(x + 4) = 1$ .

Подробное решение:

1) Раскроем произведение многочленов $(x + 3)(x - 2)$ :

$x \cdot x - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

2) Раскроем произведение одночлена на многочлен $-x(x + 4)$ :

$-x \cdot x - x \cdot 4 = -x^2 - 4x$

3) Подставим все части в уравнение:

$x^2 + x - 6 - x^2 - 4x = 1$

4) Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^2 - x^2) + (x - 4x) - 6 = 1$

$-3x - 6 = 1$

5) Перенесем $-6$ в правую часть со знаком плюс:

$-3x = 1 + 6$

$-3x = 7$

$x = 7 : (-3)$

$x = -\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}$

Ответ: $-2\dfrac{1}{3}$ .

Тренажёры по теме «Произведение многочленов» на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Произведение многочленов» (умножение многочлена на многочлен) для 7 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на перемножение двучленов и трехчленов, упрощение сложных алгебраических выражений и решение уравнений составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по алгебре за 7 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Произведение многочленов 7 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по алгебре вместе с нами!