Умножение одночлена на многочлен: правила, алгоритмы и примеры

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Произведение одночлена и многочлена» по алгебре для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить базовое правило умножения одночлена на многочлен, научиться уверенно раскрывать скобки с учётом знаков и решать уравнения и упрощать выражения любой сложности.

Умножение одночлена на многочлен — это один из ключевых технических навыков в алгебре 7 класса. Он лежит в основе решения линейных уравнений, упрощения буквенных выражений, выполнения обратного действия (вынесения общего множителя за скобки) и изучения умножения многочлена на многочлен.

Теоретический справочник: главное правило и распределительное свойство

В основе операции умножения одночлена на многочлен лежит фундаментальный закон алгебры — распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.

Правило умножения одночлена на многочлен

Правило умножения одночлена на многочлен 🎯

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

• Алгебраическая формула:
$a(b + c - d) = ab + ac - ad$

• Порядок множителей не имеет значения: умножение одночлена на многочлен или многочлена на одночлен выполняется одинаково: $(b + c)a = ba + ca$ .

Результатом умножения одночлена на многочлен всегда является многочлен.

Учёт знаков и свойств степеней при умножении

При поэтапном попарном умножении одночленов нужно соблюдать два правила:

1. Правило знаков при умножении:
• Плюс на плюс даёт плюс: $(+) \cdot (+) = +$
• Минус на минус даёт плюс: $(-) \cdot (-) = +$
• Плюс на минус даёт минус: $(+) \cdot (-) = -$

2. Перемножение степеней с одинаковыми основаниями:
При умножении одночленов их коэффициенты перемножаются, а показатели одинаковых буквенных оснований складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ .

Самая частая ошибка при отрицательном одночлене! ⚠️

Будьте особо внимательны, если перед одночленом стоит минус! Знак минус меняет знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные.
Пример:
$-3x^2(2x - 5) = (-3x^2) \cdot (2x) + (-3x^2) \cdot (-5) = -6x^3 + 15x^2$ .
Заметьте: минус на минус дал плюс перед $15x^2$ !

Пошаговый алгоритм раскрытия скобок

Чтобы без ошибок найти произведение одночлена и многочлена, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите одночлен-множитель и каждый член многочлена: четко выделите внешний одночлен и все слагаемые внутри скобок вместе с их знаками.

Последовательно перемножьте одночлен на каждое слагаемое: умножьте коэффициент на коэффициент, а переменные — по правилу сложения показателей степеней.

Запишите итоговые слагаемые с правильными знаками: объедините полученные произведения в единый многочлен.

Приведите подобные слагаемые (если они есть): если в выражении есть несколько скобок, раскройте их и сложите слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс на умножение одночлена на многочлен

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе.

Пример 1: Выполнение умножения одночлена на многочлен

Задание: Преобразуйте в многочлен произведение $-2a^2b \cdot (3a^3 - 4ab^2 + 5b)$ .

Подробное решение:

Умножим одночлен $-2a^2b$ последовательно на каждое слагаемое в скобках:

1) Умножаем на первый член $3a^3$ :
$(-2a^2b) \cdot (3a^3) = (-2 \cdot 3) \cdot (a^{2+3}) \cdot b = -6a^5b$

2) Умножаем на второй член $-4ab^2$ :
$(-2a^2b) \cdot (-4ab^2) = (-2 \cdot (-4)) \cdot (a^{2+1}) \cdot (b^{1+2}) = +8a^3b^3$

3) Умножаем на третий член $5b$ :
$(-2a^2b) \cdot (5b) = (-2 \cdot 5) \cdot a^2 \cdot (b^{1+1}) = -10a^2b^2$

4) Записываем итоговый результат:
$-6a^5b + 8a^3b^3 - 10a^2b^2$

Ответ: $-6a^5b + 8a^3b^3 - 10a^2b^2$ .

Пример 2: Решение линейного уравнения с раскрытием скобок

Задание: Найдите корень уравнения $3(2x - 1) - 2(5x - 4) = 7$ .

Подробное решение:

1) Раскроем первые скобки, умножив $3$ на $(2x - 1)$ :
$3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 = 6x - 3$

2) Раскроем вторые скобки, умножив $-2$ на $(5x - 4)$ :
$(-2) \cdot 5x - (-2) \cdot 4 = -10x + 8$

3) Запишем уравнение без скобок:
$6x - 3 - 10x + 8 = 7$

4) Приведём подобные слагаемые в левой части:
$(6x - 10x) + (-3 + 8) = 7 \implies -4x + 5 = 7$

5) Перенесём число $5$ в правую часть с противоположным знаком:
$-4x = 7 - 5 \implies -4x = 2$

6) Находим $x$ :
$x = 2 : (-4) \implies x = -0{,}5$

Ответ: $-0{,}5$ .

Тренажёры по теме «Произведение одночлена и многочлена» на Экзамео

Закрепите правила раскрытия скобок и умножения одночлена на многочлен на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Произведение одночлена и многочлена» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы