Простые и составные числа — определение, свойства и разложение

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Простые и составные числа» по математике и алгебре для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядными определениями, таблицей простых чисел, строгим объяснением Основной теоремы арифметики, формулой вычисления количества делителей, фактами об отсутствии универсальной формулы поиска простых чисел и разбором типовых задач из контрольных работ и олимпиад.

Понятие простых и составных чисел — это фундаментальный кирпичик всей теории чисел. Понимание этой темы необходимо для моментального нахождения НОД и НОК, сокращения дробей, разложения многочленов на множители в 7 классе и успешного решения олимпиадных задач и Задания №19 ЕГЭ по математике.

Теоретический справочник: простые и составные числа

Ниже подробно разобраны базовые определения, свойства делителей и особый статус единицы в математике.

Определения и классификация натуральных чисел

Классификация натуральных чисел по количеству делителей 🎯

Каждое натуральное число (начиная с $1$ ) можно отнести к одной из трех категорий:

• Простое число — это натуральное число, большее единицы, которое имеет ровно два различных делителя: единицу ( $1$ ) и само себя (например: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \ldots$ ).

• Составное число — это натуральное число, которое имеет более двух делителей (например: $4, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots$ ). Любое составное число можно разложить на простые множители.

• Число 1 (единица): имеет всего один делитель (само себя), поэтому оно не является ни простым, ни составным числом!

Самый частый подвох на проверочных работах! ⚠️

• Единственное чётное простое число — это $2$ . Все остальные чётные числа ( $4, 6, 8, 10, \ldots$ ) гарантированно делятся на $2$ , а значит, имеют как минимум три делителя и являются составными.
• Не все нечётные числа — простые! Например, числа $9$ (делится на $1, 3, 9$ ), $15$ (делится на $1, 3, 5, 15$ ), $21$ и $25$ являются нечётными, но при этом составными.

Таблица простых чисел до 100 и Решето Эратосфена

Первые простые числа легко находить с помощью древнегреческого алгоритма — Решета Эратосфена. Суть метода: выписываем числа от $2$ до $N$ , зачеркиваем все числа, кратные $2$ (кроме самой двух), затем кратные $3$ (кроме трех), кратные $5$ и так далее. Незачеркнутые числа и будут простыми.

Всего в первой сотне насчитывается ровно 25 простых чисел:

Все 25 простых чисел в пределах от 1 до 100

Существует ли формула для вычисления простых чисел?

Великие математики прошлого (Эйлер, Ферма, Гаусс) веками пытались найти универсальную алгебраическую формулу, которая выдавала бы только простые числа при подстановке любого $n$ . Однако такой универсальной и простой формулы не существует.

Простые числа распределены по числовой прямой крайне хаотично и непредсказуемо. Хотя известны многочлены, дающие простые числа при небольших $n$ (например, многочлен Эйлера $n^2 + n + 41$ дает простые числа при всех $n$ от $0$ до $39$ ), при $n = 40$ он выдает $40^2 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 41^2 = 1681$ — составное число. Поиск простых чисел и закономерностей их распределения до сих пор остается важнейшей незавершенной задачей мировой математики.

Разложение чисел на простые множители

Фундаментом высшей и школьной математики является Основная теорема арифметики:

Основная теорема арифметики:

Каждое составное натуральное число можно разложить в произведение простых множителей, и притом единственным образом (с точностью до порядка следования множителей).

$N = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$

Для разложения числа на простые множители удобно использовать вертикальную черту. Делим число на наименьшее простое число (на $2$ , $3$ , $5$ , $7$ и т.д.), пока в частном не получится $1$ :

Пример разложения числа 360:

$360 \mid 2$ (получаем 180)

$180 \mid 2$ (получаем 90)

$90 \mid 2$ (получаем 45)

$45 \mid 3$ (получаем 15)

$15 \mid 3$ (получаем 5)

$5 \mid 5$ (получаем 1)

Значит: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$

Формула нахождения количества делителей числа

Если составное число $N$ разложено на простые множители как $N = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$ , то общее количество его всех натуральных делителей $K(N)$ находится по формуле:

Формула числа делителей:

Чтобы найти общее количество натуральных делителей числа, нужно к каждому показателю степени его простых множителей прибавить $1$ и перемножить полученные суммы:

$K(N) = (k_1 + 1)(k_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (k_n + 1)$

Пример для $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ :

Показатели степеней равны $k_1 = 3$ , $k_2 = 2$ , $k_3 = 1$ .
Применяем формулу:
$K(360) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ .
Число $360$ имеет ровно $24$ натуральных делителя.

Применение простых чисел в криптографии и IT

Простые числа — это основа защиты абсолютно всех персональных данных и транзакций в современном интернете.

Шифрование RSA и Защита Данных 🔐

Безопасность банковских карт, паролей и мессенджеров держится на алгоритме RSA. Компьютер берет два огромных простых числа (по сотне цифр в каждом) и перемножает их. Перемножить их легко, а вот разложить обратно на простые множители не сможет даже самый мощный суперкомпьютер за тысячи лет!

Поиск простых чисел-гигантов 💻

Математики и программисты по всему миру участвуют в проекте GIMPS по поиску рекордных простых чисел Мерсенна ( $2^p - 1$ ). На сегодняшний день самое большое известное простое число содержит более 41 миллиона десятичных цифр!

Пошаговый алгоритм проверки числа на простоту

Чтобы проверить, является ли произвольное число $N$ простым или составным, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Проверьте признак делимости на $2$ , $3$ и $5$ : если число оканчивается на чётную цифру или $5$ , или сумма его цифр делится на $3$ , то число сразу составное.

Найдите приблизительный квадратный корень $\sqrt{N}$ : определите, между квадратами каких чисел находится $N$ .

Последовательно делите $N$ на простые числа, меньшие $\sqrt{N}$ : (на $7$ , $11$ , $13$ , $17$ и т.д.).

Сделайте вывод: если $N$ не поделилось ни на одно простое число, меньшее $\sqrt{N}$ , то число $N$ — простое. Если поделилось хотя бы на одно — составное.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельно-контрольных работ и олимпиад по математике за 7 класс.

Пример 1: Проверка числа 149 на простоту

Задание: Докажите, что число $149$ является простым.

Подробное решение:

1) По признакам делимости $149$ не делится на $2$ (нечётное), не делится на $5$ (оканчивается на $9$ ), не делится на $3$ (сумма цифр $1+4+9 = 14$ не делится на $3$ ).

2) Оценим корень: так как $12^2 = 144$ , а $13^2 = 169$ , то $\sqrt{149} \approx 12{,}2$ .

3) Достаточно проверить делимость $149$ на простые числа, меньшие $12.2$ : это $7$ и $11$ .
• $149 : 7 = 21$ (остаток $2$ ) $\implies$ не делится.
• $149 : 11 = 13$ (остаток $6$ ) $\implies$ не делится.

4) Так как $149$ не делится ни на одно простое число, меньшее его корня, число $149$ — простое.

Ответ: число $149$ простое.

Пример 2: Доказать, что выражение является составным числом

Задание: Докажите, что значение выражения $15^3 + 10^3$ является составным числом.

Подробное решение:

1) Вместо вычисления громоздких кубов применим формулу суммы кубов из 7 класса:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

2) Запишем разложение:
$15^3 + 10^3 = (15 + 10)(15^2 - 15 \cdot 10 + 10^2) = 25 \cdot (225 - 150 + 100) = 25 \cdot 175$

3) Так как значение выражения представляется в виде произведения двух натуральных чисел, отличных от $1$ ( $25$ и $175$ ), оно гарантированно делится на $25$ , $175$ и их множители.

4) Следовательно, данное число имеет больше двух делителей и является составным.

Ответ: доказано, число составное.

Тренажёры по простым и составным числам на Экзамео

Закрепите теорию о делимости натуральных чисел с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, самостоятельные и проверочные карточки по теме «Простые и составные числа» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по математике и алгебре.

В базе платформы представлены задачи разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями. Переходите к тренажёрам по математике на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно сдавайте любые проверочные и контрольные работы!