Разложение многочлена на множители - способы и примеры

На странице собраны подробные учебные материалы по алгебре «Разложение многочлена на множители» для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, алгоритмами и разобранными примерами, чтобы помочь семиклассникам освоить ключевые способы раскладывания многочленов на множители, научиться упрощать сложные дроби, решать уравнения и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам.

В 7 классе разложение многочлена на множители — один из самых важных навыков: он представляет собой операцию, обратную умножению, и позволяет сводить сложные выражения и уравнения к произведению более простых множителей.

Что такое разложение многочлена на множители? — 7 класс

Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночленов.

• Главная цель: превратить сумму или разность слагаемых в произведение ( $A + B \implies C \cdot D$ );
• Зачем это нужно: для сокращения алгебраических дробей, вычисления сложных числовых выражений устно и решения уравнений вида $A \cdot B = 0$ (произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю);
• 3 основных способа: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение формул сокращённого умножения (ФСУ).

Пример применения для решения уравнения:

Уравнение $x^2 - 5x = 0$ раскладываем на множители: $x(x - 5) = 0$ .
Отсюда получаем два простых корня: $x = 0$ или $x - 5 = 0 \implies$ $x = 5$ .

3 основных способа разложения на множители

В зависимости от вида многочлена применяют один из трех базовых методов или их комбинацию:

1. Вынесение общего множителя 🎁

Находим общий делитель коэффициентов и одинаковые буквы в наименьшей степени.

Формула: $ab + ac = a(b + c)$

• $6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$

2. Способ группировки 🧩

Объединяем слагаемые в группы с общими множителями, выносим их, а затем выносим получившийся общий скобочный множитель.

Формула: $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)$

3. Использование ФСУ ⚡

Применяем формулы сокращенного умножения справа налево.

• Разность квадратов:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

• Квадрат суммы / разности:

$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

Сводная таблица способов разложения

Рассмотрите практические образцы применения каждого из способов:

Метод разложения

Исходный многочлен

Результат разложения

Вынесение за скобки

$12a^4b^2 - 8a^2b^3$

$\mathbf{4a^2b^2(3a^2 - 2b)}$

Способ группировки

$x^3 - 3x^2 + 2x - 6$

$x^2(x - 3) + 2(x - 3) = \mathbf{(x - 3)(x^2 + 2)}$

Разность квадратов (ФСУ)

$25x^2 - 49y^2$

$(5x)^2 - (7y)^2 = \mathbf{(5x - 7y)(5x + 7y)}$

Квадрат суммы / разности (ФСУ)

$a^2 + 6ab + 9b^2$

$a^2 + 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 = \mathbf{(a + 3b)^2}$

Пошаговый алгоритм выбора способа разложения

Чтобы быстро определить, каким именно методом раскладывать многочлен, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Проверьте наличие общего множителя: всегда начинайте с вынесения общего множителя за скобки (если он есть у всех слагаемых).

Посчитайте количество слагаемых:

• Если слагаемых два $\implies$ проверьте формулы разности квадратов ( $a^2 - b^2$ ) или сумму/разность кубов.

• Если слагаемых три $\implies$ проверьте формулы полного квадрата ( $a^2 \pm 2ab + b^2$ ).

• Если слагаемых четыре и более $\implies$ примените способ группировки.

Проверьте полученные скобки: убедитесь, что ни одну из полученных скобок нельзя разложить дальше.

Разбор практических примеров

Рассмотрите подробные образцы решения задач по теме «Разложение многочлена на множители» из программы 7 класса.

Пример 1: Комбинированный способ (вынесение множителя + разность квадратов)

Задание: Разложите на множители многочлен: $3x^3 - 12x$ .

Подробное решение:

1) Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4)$

2) Заметим в скобках разность квадратов $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$ :

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ :

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

3) Запишем окончательный результат:

$3x(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $3x(x - 2)(x + 2)$ .

Пример 2: Решение уравнения с помощью разложения способом группировки

Задание: Решите уравнение: $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$ .

Подробное решение:

1) Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$

2) Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$

3) Вынесем общий скобочный множитель $(x - 2)$ :

$(x - 2)(x^2 - 9) = 0$

4) Раскроем вторую скобку по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

5) Приравняем каждый множитель к нулю:

• $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

• $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

• $x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Ответ: $-3; 2; 3$ .

Тренажёры по теме на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Разложение многочлена на множители» для 7 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на вынесение общего множителя, способ группировки, применение формул сокращенного умножения и решение уравнений составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по алгебре за 7 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Разложение многочлена на множители 7 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по алгебре вместе с нами!