Смежные и вертикальные углы: определения, теоремы и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Смежные и вертикальные углы» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определения смежных и вертикальных углов, выучить их фундаментальные свойства, научиться доказывать ключевые теоремы и без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Пары углов, возникающие при пересечении прямых и проведении дополнительных лучей, образуют основу всей школьной планиметрии. Без понимания свойств смежных и вертикальных углов невозможно освоить признаки равенства треугольников, параллельность прямых и свойства произвольных многоугольников.

Смежные и вертикальные углы - вся теория для 7 класса

Ниже подробно разобраны определения, визуальные признаки, теоремы и свойства смежных и вертикальных углов, которые разбираются в курсе геометрии для 7 класса.

Смежные углы

Смежными углами называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой (образуют прямую линию).

Теорема о смежных углах:

Сумма смежных углов равна $180^\circ$ .

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Строгое доказательство теоремы о смежных углах

Доказательство:

1) Пусть углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ — смежные. По определению, их неточные стороны $OA$ и $OB$ образуют прямую линию, а луч $OC$ является их общей стороной.

2) Луч $OC$ проходит между сторонами развёрнутого угла $\angle AOB$ . Градусная мера развёрнутого угла по определению равна $180^\circ$ .

3) По аксиоме измерения углов (свойству сложения углов), градусная мера всего развёрнутого угла равна сумме его частей: $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB = 180^\circ$ . Теорема доказана.

Следствия из свойства смежных углов:

• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

• Угол, смежный с прямым углом ( $90^\circ$ ), всегда прямой.

• Угол, смежный с острым углом, всегда тупой (и наоборот).

Вертикальные углы и теорема о их равенстве

Определение вертикальных углов 🎯

Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.

• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.

Теорема о вертикальных углах:

Вертикальные углы равны.

$\angle 1 = \angle 4, \qquad \angle 2 = \angle 3$

Строгое доказательство теоремы о вертикальных углах

Доказательство:

1) Рассмотрим пересечение двух прямых, при котором образуются углы $\angle 1$ , $\angle 2$ , $\angle 3$ и $\angle 4$ . Покажем, что вертикальные углы $\angle 1$ и $\angle 3$ равны.

2) Угол $\angle 1$ и угол $\angle 2$ являются смежными, поэтому по теореме о смежных углах: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \implies \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$ .

3) Угол $\angle 3$ и угол $\angle 2$ также являются смежными, поэтому: $\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ \implies \angle 3 = 180^\circ - \angle 2$ .

4) Правые части полученных равенств одинаковы ( $180^\circ - \angle 2$ ), а значит, равны и их левые части: $\angle 1 = \angle 3$ . Теорема доказана.

Как различать смежные и вертикальные углы? 💡

• Смежные углы всегда идут парами по очереди, лежат по одну сторону от прямой и в сумме дают $180^\circ$ (за исключением случая, когда оба угла прямые по $90^\circ$ , они не равны).
• Вертикальные углы лежат напротив друг друга через точку пересечения прямых и всегда строго равны между собой.

Пошаговый алгоритм решения задач на смежные и вертикальные углы

При решении задач на поиск неизвестных углов при пересекающихся прямых придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выполните чертёж и пронумеруйте углы: обозначьте образованные углы цифрами $1, 2, 3, 4$ по часовой стрелке.

Определите тип пары углов:
- Если углы расположены напротив — используйте равенство вертикальных углов ( $\angle 1 = \angle 3$ ).
- Если углы примыкают друг к другу — используйте сумму смежных углов ( $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ ).

Составьте уравнение или подставьте данные: выразите неизвестный угол через разность $180^\circ - \alpha$ или приравняйте выражения.

Найдите остальные углы: определите все 4 угла при пересечении прямых (они состоят из двух пар равных вертикальных углов).

Разбор типовых задач с контрольных на вертикальные и смежные углы за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Нахождение смежных углов, один из которых больше другого

Задание: Один из смежных углов на $40^\circ$ больше другого. Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Подробное решение:

1) Пусть меньший из смежных углов равен $x$ .
Тогда больший смежный угол равен $x + 40^\circ$ .

2) По теореме о смежных углах их сумма равна $180^\circ$ :
$x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$ .

3) Решаем уравнение:
$2x + 40^\circ = 180^\circ \implies 2x = 140^\circ \implies x = 70^\circ$ .

4) Находим второй угол:
$70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$ .

Ответ: $70^\circ$ и $110^\circ$ .

Пример 2: Нахождение всех углов при пересечении двух прямых по сумме двух из них

Задание: При пересечении двух прямых сумма двух из образовавшихся углов равна $100^\circ$ . Найдите градусные меры всех четырех углов.

Подробное решение:

1) Сумма двух смежных углов всегда строго равна $180^\circ$ . Так как по условию сумма двух углов равна $100^\circ \neq 180^\circ$ , перед нами вертикальные углы.

2) По теореме о вертикальных углах они равны. Следовательно, каждый из этих углов равен:
$\angle 1 = \angle 3 = 100^\circ : 2 = 50^\circ$ .

3) Угол $\angle 2$ является смежным с углом $\angle 1$ . По теореме о смежных углах:
$\angle 2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ .

4) Угол $\angle 4$ равен углу $\angle 2$ как вертикальный: $\angle 4 = 130^\circ$ .

Ответ: $50^\circ$ , $130^\circ$ , $50^\circ$ , $130^\circ$ .

Тренажёры по смежным и вертикальным углам на Экзамео

Закрепите теоремы о смежных и вертикальных углах на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Смежные и вертикальные углы» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы