Биссектриса угла: определение, свойство, построение и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Биссектриса угла и её свойства» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение биссектрисы, выучить её геометрическое свойство, научиться строить её с помощью циркуля и линейки и уверенно решать задачи из контрольных работ.

Понятие биссектрисы угла — один из фундаментальных элементов планиметрии. Оно постоянно используется при изучении равнобедренных треугольников, вписанных окружностей, замечательных точек треугольника и геометрийных построений.

Что такое биссектриса угла?

Ниже подробно разобраны строгое определение биссектрисы угла, её ключевое свойство и различие между биссектрисой угла и биссектрисой треугольника.

Определение биссектрисы угла

Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

• Если луч $l$ (или $OC$ ) является биссектрисой угла $\angle AOB$ , то выполняется равенство:

$\angle AOC = \angle COB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$

Замените заголовок

Популярная школьная запоминалка звучит так: «Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам».

Геометрическое свойство биссектрисы угла

Биссектриса угла обладает важным теорематическим свойством, связанным с расстоянием до его сторон, которое применяется даже в заданиях для 11 класса, поэтому постарайтесь его запомнить:

Теорема о биссектрисе угла:

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
И наоборот: если точка лежит внутри угла и равноудалена от его сторон, то она лежит на его биссектрисе.

Напомним, что расстояние от точки до стороны (прямой) измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на сторону угла.

Не путайте биссектрису угла и биссектрису треугольника! ⚠️

Биссектриса угла — это бесконечный луч.

Биссектриса треугольника — это конечный отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки

Для точного построения биссектрисы любого угла $AOB$ используется классический геометрический алгоритм:

Порядок действий:

Проведите дугу с центром в вершине $O$ : произвольным радиусом постройте окружность (или дугу) с центром в вершине $O$ . Она пересечёт стороны угла в точках $P$ и $Q$ .

Постройте две пересекающиеся дуги из точек $P$ и $Q$ : одинаковым радиусом (большим половины длины $PQ$ ) проведите две дуги с центрами в точках $P$ и $Q$ во внутренней области угла. Обозначьте точку их пересечения $C$ .

Проведите луч $OC$ : соедините вершину $O$ с точкой $C$ помощью линейки. Луч $OC$ — искомая биссектриса.

Пошаговый алгоритм решения задач на биссектрису

При решении задач с биссектрисой угла придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выполните чертёж: нарисуйте угол, проведите биссектрису и отметьте дугами равные образовавшиеся углы.

Составьте равенство: используйте соотношение $\angle \text{половина} = \dfrac{1}{2} \angle \text{весь}$ или $\angle \text{весь} = 2 \cdot \angle \text{половина}$ .

Вычислите неизвестный угол: подставьте известные числовые данные или составьте уравнение.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс на биссектрису угла

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Нахождение угла между биссектрисой и стороной

Задание: Луч $OK$ — биссектриса угла $AOB$ , равного $74^\circ$ . Найдите градусную меру угла $AOK$ .

Подробное решение:

1) По определению биссектрисы угла, луч $OK$ делит угол $AOB$ на два равных угла:
$\angle AOK = \angle KOB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ .

2) Подставим градусную меру угла $AOB = 74^\circ$ :
$\angle AOK = \dfrac{74^\circ}{2} = 37^\circ$ .

Ответ: $\angle AOK = 37^\circ$ .

Пример 2: Угол между биссектрисами смежных углов

Задание: Докажите, что угол между биссектрисами двух смежных углов всегда равен $90^\circ$ .

Подробное решение:

1) Пусть $\angle AOC$ и $\angle COB$ — смежные углы. По свойству смежных углов:
$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$ .

2) Проведём биссектрису $OK$ угла $AOC$ и биссектрису $OL$ угла $COB$ .

3) По определению биссектрис:
$\angle KOC = \dfrac{1}{2}\angle AOC$ , а $\angle COL = \dfrac{1}{2}\angle COB$ .

4) Угол между биссектрисами равен сумме этих половин:
$\angle KOL = \angle KOC + \angle COL = \dfrac{1}{2}\angle AOC + \dfrac{1}{2}\angle COB = \dfrac{1}{2}(\angle AOC + \angle COB)$ .

5) Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$ :
$\angle KOL = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, угол между биссектрисами смежных углов равен $90^\circ$ .

Тренажёры по теме «Биссектриса угла» для 7 класса на Экзамео

Закрепите определение и свойства биссектрисы угла на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки на построение и проверочные тесты по теме «Биссектриса угла» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы