Тождественное равенство целых выражений: правила и доказательства

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Тождественное равенство целых выражений» по алгебре для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение тождества, разобраться в законах тождественных преобразований, выучить все три основных способа доказательства равенств и научиться уверенно решать задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Понятие тождественного равенства — один из ключевых краеугольных камней алгебраического аппарата 7 класса. Именно на тождествах основаны правила упрощения буквенных выражений, решение уравнений, применение формул сокращённого умножения и разложение многочленов на множители.

Что такое тождество целых выражений?

В алгебре равенства, содержащие переменные, делятся на два принципиально разных вида: уравнения (верные лишь при некоторых значениях букв) и тождества (верные при любых значениях).

Определение тождества и тождественно равных целых выражений

Определения тождества 🎯

• Тождественно равными выражениями называются два выражения, соответственные значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.

• Тождеством называется равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных.

• Тождество целых выражений: так как целые выражения определены при любых значениях букв (их ОДЗ — всё числовое множество $\mathbb{R}$ ), тождеством целых выражений является равенство, обращающееся в верное числовое равенство при абсолютно любых числах, подставленных вместо переменных.

Примерами известнейших тождеств являются переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения ( $a + b = b + a$ , $a(b + c) = ab + ac$ ), а также формулы сокращённого умножения ( $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ).

Тождественные преобразования целых выражений

Тождественным преобразованием (или просто упрощением выражения) называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

При работе с целыми выражениями используются следующие основные виды тождественных преобразований:

• Приведение подобных слагаемых: $3x + 5x - 2x = 6x$ .

• Раскрытие скобок с учётом знаков: $-(2a - 3b) = -2a + 3b$ .

• Умножение одночленов и многочленов: $2x(x + 4) = 2x^2 + 8x$ .

• Применение формул сокращённого умножения: $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$ .

• Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя, способ группировки.

Как доказать, что равенство НЕ является тождеством? 💡

Чтобы опровергнуть тождество (доказать, что равенство тождеством не является), достаточно привести всего один контрпример — подобрать такие числовые значения переменных, при которых левая и правая части дают разные результаты!
Пример: Является ли равенством тождество $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ?
Проверка: пусть $a = 1$ , $b = 1$ .
Левая часть: $(1 + 1)^2 = 2^2 = 4$ .
Правая часть: $1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$ .
Так как $4 \neq 2$ , равенство не является тождеством!

Три основных метода доказательства тождества целых выражений

Чтобы доказать тождественное равенство двух целых выражений $A = B$ , в 7 классе применяют один из трёх стандартных алгебраических методов:

Метод 1: Преобразование левой части ⬅️

Преобразуют левую часть равенства $A$ с помощью тождественных действий до тех пор, пока не получится правая часть $B$ ( $A \to \dots \to B$ ).

Метод 2: Преобразование обеих частей ↔️

Параллельно преобразуют и левую часть $A$ , и правую часть $B$ . Если в обоих случаях получается одно и то же выражение $C$ ( $A \to C$ и $B \to C$ ), тождество доказано.

Метод 3: Анализ разности ➖

Составляют разность левой и правой частей $A - B$ . Если в результате тождественных преобразований эта разность оказывается равной нулю ( $A - B = 0$ ), то $A = B$ .

Пошаговый алгоритм доказательства тождественности целых выражений

При доказательстве тождественного равенства целых выражений придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выберите наиболее сложную часть равенства: обычно выгоднее начинать с той части, которая содержит скобки, произведения или квадраты.

Раскройте скобки и примените формулы: выполните возведение в степень и умножение одночленов/многочленов.

Приведите подобные слагаемые: упростите полученный многочлен.

Сделайте вывод: если итоговое выражение совпало с другой частью (или их разность равна $0$ ), запишите вывод: «Тождество доказано».

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе.

Пример 1: Доказательство тождества путем преобразования левой части

Задание: Докажите тождество $(a - 2)(a + 2) - a(a - 4) = 4a - 4$ .

Подробное решение:

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):

1) Применим формулу разности квадратов к первому произведению:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 4$ .

2) Раскроем вторые скобки, умножив одночлен $-a$ на $(a - 4)$ :
$-a(a - 4) = -a^2 + 4a$ .

3) Запишем всю левую часть и приведём подобные слагаемые:
$\text{ЛЧ} = a^2 - 4 - a^2 + 4a = (a^2 - a^2) + 4a - 4 = 4a - 4$ .

4) Сравниваем с правой частью (ПЧ): $\text{ЛЧ} = 4a - 4$ и $\text{ПЧ} = 4a - 4$ .
Так как $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ}$ , тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Пример 2: Доказательство тождества методом разности частей

Задание: Докажите тождество $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = 0$ .

Подробное решение:

1) Раскроем скобки в левой части выражения, умножая каждый одночлен на соответствующий многочлен:
$a(b - c) = ab - ac$
$b(c - a) = bc - ab$
$c(a - b) = ac - bc$

2) Сложим все три полученных выражения:
$\text{ЛЧ} = ab - ac + bc - ab + ac - bc$

3) Приведём подобные слагаемые:
$\text{ЛЧ} = (ab - ab) + (-ac + ac) + (bc - bc) = 0 + 0 + 0 = 0$ .

4) Левая часть равна правой части ( $0 = 0$ ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Тренажёры по тождественным равенствам целых выражений за 7 класс на Экзамео

Закрепите способы доказательства тождеств и навыки тождественных преобразований на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Тождественное равенство целых выражений» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы