Целые выражения и их преобразования в многочлен

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Целые выражения и их преобразования» по алгебре для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение целого выражения, научиться отличать его от дробного, выполнять тождественные преобразования любой сложности и уверенно сводить целые выражения к каноническому виду многочлена.

Тема «Преобразования целых выражений» подводит итог изучению базовой алгебры 7 класса. Она объединяет навыки действий с одночленами, многочленами, раскрытия скобок и применения формул сокращённого умножения. Умение быстро и без ошибок приводить целые выражения к многочлену необходимо для решения любых алгебраических уравнений, систем и неравенств в старших классах и на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ.

Что такое целое выражение?

Ниже подробно разобраны строгое определение целого выражения, его отличие от дробных выражений и ключевая теорема о приведении целого выражения к многочлену.

Определение целого алгебраического выражения

Определение целого выражения 🎯

Целым выражением называется алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, а также деления на число, отличное от нуля.

• Главный признак целого выражения: в нём НЕТ деления на выражение, содержащее переменные!

• Допустимые значения переменных (ОДЗ): так как в целом выражении отсутствует деление на переменные, оно имеет смысл при любых значениях входящих в него букв.

Числа, одночлены, многочлены, а также любые их суммы, разности и произведения являются целыми выражениями.

Примеры ЦЕЛЫХ выражений ✅

- $3x^2y - 5ab + 7$ (многочлен)
- $(2a + b)(a^2 - 3b)$ (произведение)
- $\dfrac{x^2 - 4x + 1}{5}$ (деление на число $5$ , а не на букву!)
- $\dfrac{1}{3}a^2b - 0{,}5c$ (коэффициенты — дроби)

Примеры НЕ целых (дробных) выражений ❌

- $\dfrac{5}{x}$ (деление на переменную $x$ )
- $\dfrac{a + b}{a - b}$ (деление на выражение с переменными)
- $2x^2 + \dfrac{3}{y - 1}$ (знаменатель содержит $y$ )
- $x^{-2}$ (отрицательная степень равна $\frac{1}{x^2}$ )

Представление целого выражения в виде многочлена

Главное математическое свойство целых выражений сформулировано в теореме:

Фундаментальное правило алгебры:

Любое целое выражение можно тождественно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Для этого используют следующий набор тождественных преобразований:

• Раскрытие скобок: распределительное свойство умножения $a(b + c) = ab + ac$ и правило умножения многочлена на многочлен $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ .

• Применение формул сокращённого умножения: квадрат суммы $(a+b)^2$ , квадрат разности $(a-b)^2$ , разность квадратов $a^2 - b^2$ , куб суммы и разности.

• Деление на число: замена деления на число $c$ умножением на обратное число $\frac{1}{c}$ .

• Приведение подобных слагаемых: группировка и сложение одночленов с одинаковой буквенной частью.

Опасность знака «минус» перед скобками! ⚠️

Самая распространённая ошибка при преобразовании целых выражений — раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «минус» (особенно когда перед скобкой находится произведение или квадрат).
Пример: $-(x - 3)^2 = -(x^2 - 6x + 9) = -x^2 + 6x - 9$ .
Сначала возведите выражение в степень внутри скобок, и только затем меняйте знаки всех слагаемых на противоположные!

Пошаговый алгоритм преобразования целого выражения в многочлен

Чтобы превратить сложное целое выражение в многочлен стандартного вида, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выполните возведение в степень и примените формулы сокращённого умножения: раскрывайте квадраты и кубы двучленов в первую очередь.

Выполните умножение одночленов и многочленов: перемножьте скобки и распределите внешние множители, сохраняя общее выражение в скобках, если перед ним стоит знак «минус».

Раскройте оставшиеся скобки с учётом знаков: если перед скобкой стоит плюс — просто опустите скобки; если минус — измените знак каждого слагаемого внутри скобок.

Приведите подобные слагаемые: подчеркните одночлены с одинаковой буквенной частью, сложите их коэффициенты и запишите итоговый многочлен в порядке убывания степеней переменных.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельно-контрольных работ и ВПР по алгебре за 7 класс.

Пример 1: Преобразование целого выражения с квадратом двучлена в многочлен

Задание: Преобразуйте целое выражение $(3x - 2)^2 - (3x - 1)(3x + 1) + 4x$ в многочлен стандартного вида.

Подробное решение:

1) Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

2) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ ко второму произведению:
$(3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$ .

3) Подставим результаты в исходное выражение, сохранив скобки после знака «минус»:
$(9x^2 - 12x + 4) - (9x^2 - 1) + 4x$ .

4) Раскроем скобки, изменив знаки во второй скобке на противоположные:
$9x^2 - 12x + 4 - 9x^2 + 1 + 4x$ .

5) Приведём подобные слагаемые:
• При $x^2$ : $9x^2 - 9x^2 = 0$ .
• При $x$ : $-12x + 4x = -8x$ .
• Свободные члены: $4 + 1 = 5$ .
Получаем: $-8x + 5$ .

Ответ: $-8x + 5$ .

Пример 2: Упрощение целого выражения, содержащего деление на число

Задание: Представьте целое выражение $\dfrac{x(x + 4)}{2} - \dfrac{(x - 2)^2}{2}$ в виде многочлена.

Подробное решение:

1) Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $2$ , запишем их под общей чертой:
$\dfrac{x(x + 4) - (x - 2)^2}{2}$ .

2) Раскроем скобки в числителе:
$x(x + 4) = x^2 + 4x$ .
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ .
Числитель равен: $(x^2 + 4x) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x - x^2 + 4x - 4 = 8x - 4$ .

3) Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и выполним почленное деление на $2$ :
$\dfrac{8x - 4}{2} = \dfrac{8x}{2} - \dfrac{4}{2} = 4x - 2$ .

Ответ: $4x - 2$ .

Тренажёры по теме «Целые выражения» на Экзамео

Закрепите правила работы с целыми выражениями и доведите навыки тождественных преобразований до автоматизма с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Целое выражение и его преобразования» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы