Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

На данной странице разберем две важные темы из курса «Вероятность и статистика» для 8 класса: формулу включения-исключения и взаимно однозначное соответствие. Эти понятия широко используются при решении задач на подсчёт количества элементов множеств, в комбинаторике и теории вероятностей.

Формула включения-исключения - это метод подсчёта количества элементов в объединении нескольких множеств, который позволяет избежать двойного счёта элементов, принадлежащих пересечениям этих множеств.

Формула включения-исключения

Формула включения-исключения это мощный инструмент для подсчёта элементов в объединении множеств. Она особенно полезна, когда множества пересекаются, и простым сложением их мощностей нельзя обойтись.

Для двух множеств

Формула для двух множеств

Для двух множеств $A$ и $B$ формула включения-исключения выглядит так:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Читается: «Мощность объединения множеств A и B равна сумме их мощностей минус мощность их пересечения».

Почему это работает: Складывая $|A|$ и $|B|$ , мы считаем элементы пересечения $A \cap B$ дважды. Поэтому их нужно вычесть один раз.

Пример:

В классе 15 человек занимаются вязанием, 20 человек — шитьём, а 10 человек занимаются и тем, и другим. Сколько всего человек в классе?

$|A| = 15$ (вязание), $|B| = 20$ (шитьё), $|A \cap B| = 10$

$|A \cup B| = 15 + 20 - 10 = 25$

Ответ: 25 человек.

Формула включения-исключения для двух множеств на кругах Эйлера

[Вставить изображение: два пересекающихся круга Эйлера с выделенными областями]

Для трёх множеств

Формула для трёх множеств

Для трёх множеств $A$ , $B$ и $C$ формула включения-исключения выглядит так:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Почему это работает:

Сначала складываем мощности всех трёх множеств.
Вычитаем мощности всех попарных пересечений (элементы, попавшие в два множества, были посчитаны дважды).
Прибавляем мощность тройного пересечения (элементы, попавшие во все три множества, были вычтены трижды, а нужно вычесть один раз).

Пример:

В классе 25 студентов изучают бухгалтерию, 27 — бизнес, 12 — туризм. При этом 20 студентов изучают бухгалтерию и бизнес, 5 — бухгалтерию и туризм, 3 — туризм и бизнес. Никто не изучает все три предмета. Сколько студентов изучают хотя бы один из этих предметов?

$|A| = 25$ , $|B| = 27$ , $|C| = 12$

$|A \cap B| = 20$ , $|A \cap C| = 5$ , $|B \cap C| = 3$

$|A \cap B \cap C| = 0$

$|A \cup B \cup C| = 25 + 27 + 12 - 20 - 5 - 3 + 0 = 36$

Ответ: 36 студентов.

Формула включения-исключения для трёх множеств на кругах Эйлера

[Вставить изображение: три пересекающихся круга Эйлера с выделенными областями]

📌 Важно запомнить: Формула включения-исключения позволяет подсчитать количество элементов в объединении множеств, последовательно «включая» и «исключая» элементы пересечений. Для $n$ множеств формула содержит $2^n - 1$ слагаемых.

Взаимно однозначное соответствие

Взаимно однозначное соответствие - это важное понятие, которое позволяет сравнивать количества элементов в множествах, даже если эти множества состоят из разных объектов.

Определение взаимно однозначного соответствия

Взаимно однозначным соответствием между множествами $A$ и $B$ называется правило (или способ), которое каждому элементу множества $A$ ставит в соответствие единственный элемент множества $B$ , причём:

разным элементам из $A$ соответствуют разные элементы из $B$ ;
каждый элемент из $B$ соответствует некоторому элементу из $A$ .

Если между множествами $A$ и $B$ можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества равномощны (имеют одинаковое количество элементов).

Примеры:
Каждому ученику класса можно поставить в соответствие его место в списке (если список без пропусков). Это взаимно однозначное соответствие между множеством учеников и множеством номеров.
Каждому натуральному числу $n$ можно поставить в соответствие число $n^2$ : $1 \to 1$ , $2 \to 4$ , $3 \to 9$ , ... Это взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством квадратов натуральных чисел.
Каждой точке на числовой прямой можно поставить в соответствие её координату — это взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами.

💡 Зачем это нужно: Взаимно однозначное соответствие — это основа для сравнения мощностей множеств. Оно позволяет «пересчитать» элементы одного множества через другое, что часто упрощает решение комбинаторных задач.

Применение в теории вероятностей

Формула включения-исключения и взаимно однозначное соответствие активно используются в теории вероятностей для подсчёта числа благоприятных исходов.

Пример задачи на вероятность

Задача. Сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Решение.

Пусть $A$ — множество чисел, делящихся на 2; $B$ — делящихся на 3; $C$ — делящихся на 5.

$|A| = \left\lfloor \frac{100}{2} \right\rfloor = 50$

$|B| = \left\lfloor \frac{100}{3} \right\rfloor = 33$

$|C| = \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20$

$|A \cap B| = \left\lfloor \frac{100}{6} \right\rfloor = 16$ (делятся на 6)

$|A \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{10} \right\rfloor = 10$ (делятся на 10)

$|B \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{15} \right\rfloor = 6$ (делятся на 15)

$|A \cap B \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{30} \right\rfloor = 3$ (делятся на 30)

По формуле включения-исключения:

$|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74$

Значит, чисел, которые не делятся ни на одно из этих чисел:

$100 - 74 = 26$

Ответ: 26 чисел.

Тренажёры по формуле включения-исключения

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие». Все задания составлены на основе типовых задач из курса «Вероятность и статистика» для 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам по вероятности и статистике.