Градусная мера дуги окружности: свойства и примеры

В этом разделе рассматривается градусная мера дуги окружности, её определение, свойства и тесная связь с центральным углом. Материал содержит правила нахождения угловых величин дуг, вычисления градусных мер через соотношения частей окружности, а также разбор теорем, изучаемых в 8 классе. Разобраны типы дуг (меньшая дуга, большая дуга и полуокружность) и правила их обозначения.

Приведены примеры решения практических задач, часто встречающихся в контрольных работах и материалах ОГЭ по математике. Отдельное внимание уделено различию между градусной мерой дуги и её длиной в сантиметрах: градусная мера дуги зависит исключительно от соответствующего центрального угла и не определяется радиусом окружности.

Отработать тему градусная мера дуги окружности можно после теории в тренажёрах с подробными решениями.

Градусная мера дуги окружности - полный разбор темы 8 класса

Ниже подробно разбираем все определения, свойства и теоремы, связанные с дугой окружности и центральным углом, которые изучаются в 8 классе на уроках геометрии.

Центральный угол и градусная мера дуги

Любые две точки $A$ и $B$ , лежащие на окружности, делят её на две замкнутые части. Каждая из этих частей называется дугой окружности, а точки $A$ и $B$ — концами этих дуг.

Определение центрального угла и дуги 🎯

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Градусная мера дуги окружности — это градусная мера соответствующего ей центрального угла:

\cup AB = \angle AOB

Виды дуг и градусная мера полной окружности

Градусная мера всей окружности равна $360^\circ$ . В зависимости от размера центрального угла и расположения точек выделяют три вида дуг:

Классификация дуг окружности:

1. Полуокружность: дуга, концы которой являются диаметром окружности.

\text{Градусная мера полуокружности} = 180^\circ

2. Меньшая дуга: дуга, которая меньше полуокружности. Её градусная мера меньше $180^\circ$ и равна градусной мере меньшего центрального угла $\angle AOB$ .

3. Большая дуга: дуга, которая больше полуокружности. Её градусная мера больше $180^\circ$ и находится вычитанием меньшей дуги из $360^\circ$ :

\cup ALB = 360^\circ - \cup AB

Чтобы различать меньшую и большую дугу с одинаковыми концами $A$ и $B$ , на большой дуге ставят дополнительную букву (например, $L$ или $M$ ) и записывают $\cup ALB$ .

Свойство сложения градусных мер дуг

Если точка $C$ лежит на дуге $AB$ и разбивает её на две части, то градусная мера всей дуги равна сумме градусных мер образованных дуг:

\cup ACB = \cup AC + \cup CB

Важно различать! 💡

Градусная мера дуги окружности измеряется только в градусах ( $^\circ$ ) и показывает её угловую величину. Длина дуги окружности измеряется в сантиметрах или метрах и рассчитывается по формуле $L = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ . Две дуги разных окружностей могут иметь одинаковую градусную меру, но разную длину.

Разбор задач из проверочных работ на градусную меру окружности за 8 класс

Рассмотрите решения характерных задач на градусную меру дуги окружности из школьной программы и ОГЭ.

Пример 1: Градусная мера дуги окружности через центральный угол

Задание: Градусная мера центрального угла $AOB$ равна $125^\circ$ . Найдите градусную меру меньшей и большей дуг $AB$ .

Подробное решение:

1) По определению градусная мера меньшей дуги равна градусной мере центрального угла:

\cup AB = \angle AOB = 125^\circ

2) Градусная мера большей дуги дополняет меньшую дугу до $360^\circ$ :

\cup ALB = 360^\circ - \cup AB = 360^\circ - 125^\circ = 235^\circ

Ответ: меньшая дуга равна $125^\circ$ , большая дуга равна $235^\circ$ .

Пример 2: Вычисление градусов дуг окружности, заданных отношением

Задание: Точки $A, B, C$ делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 4 : 5$ . Найдите градусную меру каждой дуги и углы треугольника $ABC$ .

Подробное решение:

1) Пусть $x$ — градусная мера одной части. Тогда дуги равны $3x, 4x, 5x$ .

2) Полная окружность составляет $360^\circ$ :
$$3x + 4x + 5x = 360^\circ \implies 12x = 360^\circ \implies x = 30^\circ$$

3) Находим градусные меры дуг:
• $\cup AB = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
• $\cup BC = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
• $\cup CA = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

Ответ: $90^\circ, 120^\circ, 150^\circ$ .

Тренажёры по теме «Градусная мера дуги окружности» на Экзамео

Отработать определение и свойства градусной меры дуги окружности можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео». Задания для 8 класса охватывают нахождение градусных мер дуг через центральные углы, расчеты отношений частей окружности и решение геометрии с окружностями.

Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что помогает своевременно разобрать ошибки. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы