Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера

Тема многочлены проходится в 7 классе, вы учитесь их преобразовывать, но научиться их решать вы можете научиться только в 8 классе.

На данной странице разберем теорию по темам корни многочлена, теорема Безу и схема Горнера. Эти темы проходятся в 8 классе и являются основой для решения уравнений высших степеней (кубических, четвёртой степени и выше), которые встречаются в ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадных задачах по математике.

Корень многочлена - это значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль.

Теорема Безу - это фундаментальная теорема, которая связывает корень многочлена с его делимостью на двучлен.

Схема Горнера - это эффективный алгоритм для деления многочлена на двучлен и вычисления его значений.

Корни многочлена

Начнём с самого важного определения, на котором строится вся теория - разберем что такое корень многочлена.

Что такое корень многочлена

Число $c$ называется корнем многочлена $f(x)$ , если при подстановке $x = c$ значение многочлена равно нулю: $f(c) = 0$ .

Пример: Для многочлена $f(x) = x^2 - 5x + 6$ число $2$ является корнем, так как $f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$ . Число $3$ тоже является корнем: $f(3) = 9 - 15 + 6 = 0$ .

Кратность корня. Если многочлен $f(x)$ делится на $(x - c)^k$ , но не делится на $(x - c)^{k+1}$ , то говорят, что $c$ - корень кратности $k$ .

Пример: $f(x) = (x - 1)^3(x + 2)$ . Здесь $x = 1$ - корень кратности 3, а $x = -2$ - корень кратности 1 (простой корень).

📌 Важно запомнить: Многочлен степени $n$ не может иметь более $n$ различных корней. Это свойство часто используется при решении уравнений.

Приёмы для поиска корней многочлена

Прежде чем применять схему Горнера, полезно знать несколько удобных приёмов, которые помогают быстро найти корни многочлена и упростить задачу решения таких уравнений.

Мы настоятельно рекомендуем вам их запомнить - они реально ускоряют процесс решения уравнений высших порядков.

Сумма коэффициентов равна 0

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна 0, то $x = 1$ является корнем.

Пример: $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$
Сумма коэффициентов: $1 - 2 + 1 = 0$
Значит, $x = 1$ — корень.

Сумма коэффициентов на чётных и нечётных местах

Если сумма коэффициентов на чётных позициях равна сумме на нечётных, то $x = -1$ является корнем.

Пример: $f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$
Чётные позиции (при $x^2$ и $x^0$ ): $2 - 2 = 0$
Нечётные (при $x^3$ и $x^1$ ): $1 - 1 = 0$
Значит, $x = -1$ — корень.

Целые корни — делители свободного члена

Если многочлен имеет целые коэффициенты и старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются целыми числами и являются делителями свободного члена.

Пример: $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$
Свободный член = 3.
Делители: $\pm1, \pm3$ .
Проверяем: $f(1)=0$ , значит, $x=1$ — корень.

Рациональные корни

Если $p/q$ — корень многочлена с целыми коэффициентами, то $p$ — делитель свободного члена, $q$ — делитель старшего коэффициента.

Пример: $f(x) = 2x^3 - 3x - 1$
$p = \pm1$ , $q = \pm1, \pm2$ .
Кандидаты: $\pm1, \pm\frac{1}{2}$ .
Проверка: $f(-1) = 0$ , значит, $x = -1$ — корень.

💡 Важно: Значение $f(0)$ всегда равно свободному члену многочлена. Значение $f(1)$ равно сумме всех коэффициентов.

Теорема Безу

Теорема Безу это одна из важнейших теорем в теории многочленов. Она связывает значение многочлена с остатком от его деления на двучлен и позволяет находить корни без непосредственного деления. Разберем её формулировку и как она применяется при решении задач.

Особенно часто задания на теорему Безу встречаются в олимпиадных заданиях по математике в 8 и 9 классе, но уравнения высших порядков могут встречаться и во второй части ЕГЭ по математике.

Формулировка теоремы Безу

Остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению многочлена при $x = c$ , то есть $f(c)$ .

Из этой теоремы существует два следствия:

Следствие 1 (критерий корня). Число $c$ является корнем многочлена $f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ делится нацело на $(x - c)$ .

Следствие 2 (понижение степени). Если $c$ — корень многочлена $f(x)$ , то $f(x) = (x - c) \cdot g(x)$ , где $g(x)$ — многочлен степени на 1 меньше.

Пример применения теоремы Безу

Проверим, делится ли многочлен $f(x) = x^5 - 5x^4 + 8x^3 - 5x^2 + x + 2$ на $(x - 2)$ .

По теореме Безу, достаточно вычислить $f(2)$ :

$f(2) = 32 - 80 + 64 - 20 + 2 + 2 = 0$

Так как $f(2) = 0$ , то $x = 2$ — корень, и многочлен делится нацело на $(x - 2)$ .

Обратите внимание: чтобы проверить делимость, нам не пришлось выполнять деление «уголком».

Схема Горнера

Схема Горнера - это алгоритм, который позволяет быстро делить многочлен на двучлен $(x - c)$ и одновременно вычислять значение многочлена $f(c)$ . Этот метод значительно экономит время и упрощает вычисления, особенно для многочленов высокой степени.

Как работает схема Горнера

Пусть дан многочлен $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$ . Разделим его на $(x - c)$ :

$f(x) = (x - c) \cdot g(x) + r$

где $g(x) = b_0x^{n-1} + b_1x^{n-2} + \dots + b_{n-2}x + b_{n-1}$ , а $r$ — остаток.

Коэффициенты $b_i$ и остаток $r$ вычисляются по формулам:

$b_0 = a_0$

Обратите внимание: последнее число $r$ — это и есть значение $f(c)$ по теореме Безу!

Таблица для схемы Горнера

Все вычисления удобно оформлять в виде таблицы:

****

$a_0$

$a_1$

$a_2$

$...$

$a_n$

$c$

$b_0 = a_0$

$b_1 = a_1 + c \cdot b_0$

$b_2 = a_2 + c \cdot b_1$

$...$

$r = a_n + c \cdot b_{n-1}$

Пример деления по схеме Горнера

Пример 1: Деление многочлена на (x − 2)

Разделим многочлен $f(x) = x^3 - 5x^2 + 8$ на $(x - 2)$ с помощью схемы Горнера.

Шаг 1. Записываем коэффициенты многочлена (не забываем про нулевые коэффициенты!).

$f(x) = 1 \cdot x^3 + (-5) \cdot x^2 + 0 \cdot x + 8$

Коэффициенты: 1, -5, 0, 8

Шаг 2. Заполняем таблицу для $c = 2$ :

****

-5

$2$

$1$

$2 \cdot 1 + (-5) = -3$

$2 \cdot (-3) + 0 = -6$

$2 \cdot (-6) + 8 = -4$

Шаг 3. Читаем результат.

В нижней строке: 1, -3, -6, -4

Первые три числа — коэффициенты частного: $g(x) = x^2 - 3x - 6$

Последнее число — остаток: $r = -4$

Ответ:

$x^3 - 5x^2 + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 6) - 4$

Пример поиска корней с помощью схемы Горнера

Пример 2: Нахождение всех корней многочлена

Найдём все корни многочлена $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ .

Шаг 1. Выписываем делители свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ .

Шаг 2. Проверяем кандидаты по схеме Горнера.

****

-5

-6

$-1$

$1$

$-6$

$0$ ← корень!

$x = -1$ — корень.

Шаг 3. Понижаем степень. Коэффициенты частного: 1, 1, -6

$f(x) = (x + 1)(x^2 + x - 6)$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$ :

$x = -3$ или $x = 2$

Ответ: корни многочлена: $-3, -1, 2$ .

Объединённая схема Горнера

Если нужно проверить несколько кандидатов в корни, строят объединённую схему — это экономит время и упрощает вычисления.

Пример 3: Объединённая схема Горнера

Проверим, делится ли многочлен $f(x) = x^5 - 5x^4 + 8x^3 - 5x^2 + x + 2$ на $(x - 1)$ , $(x + 1)$ и $(x - 2)$ .

Заполняем одну таблицу для всех проверяемых значений:

****

-5

$1$

$-4$

$4$

$-1$

$0$

$2$ ← не 0

$-1$

$1$

$-6$

$14$

$-19$

$20$

$-18$ ← не 0

$2$

$1$

$-3$

$2$

$-1$

$0$

$2$ ← не 0

Вывод: $x = 1$ и $x = -1$ и $x = 2$ не являются корнями, так как остаток не равен 0 ни в одном случае.

Обратите внимание: при проверке $x = 1$ остаток равен 2, а не 0. Значит, на $(x - 1)$ многочлен не делится.

Применение для решения уравнений

Схема Горнера и теорема Безу вместе дают мощный метод решения уравнений высших степеней. Найдя один корень, мы понижаем степень уравнения и решаем уже более простое уравнение.

Алгоритм решения уравнений высших степеней

Шаг 1. Найти один корень многочлена, проверяя делители свободного члена.

Шаг 2. Разделить многочлен на $(x - c)$ по схеме Горнера.

Шаг 3. Получить уравнение меньшей степени и решить его (например, квадратное).

Шаг 4. Записать все найденные корни.

💡 Совет: Если многочлен имеет целые коэффициенты и старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются целыми числами и их нужно искать среди делителей свободного члена. Это значительно сокращает перебор.

Тренажёры по корням многочлена, теореме Безу и схеме Горнера

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «корни многочлена». Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры для углублённого изучения и сборников для подготовки к ЕГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике.