Основное свойство рациональной дроби

Основное свойство рациональной дроби - это ключевой закон, который лежит в основе всех преобразований дробных выражений в алгебре. Без этого свойства невозможно сокращать дроби, приводить их к общему знаменателю, складывать, вычитать, умножать и делить рациональные выражения. На этой странице вы узнаете, в чём заключается основное свойство рациональной дроби, как его применять и какие ошибки чаще всего допускают ученики.

Вы уже знакомы с основным свойством обыкновенных дробей из 5-6 класса: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то дробь не изменится. В 8 классе это свойство обобщается на рациональные дроби, где вместо чисел могут стоять многочлены.

Вспоминаем основное свойство обыкновенных дробей

Прежде чем перейти к рациональным дробям, вспомним, как работает основное свойство для обыкновенных дробей. Рассмотрим его на примере

Основное свойство обыкновенной дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.

Пример:

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 : 2}{8 : 2} = \dfrac{3}{4}$

Это свойство позволяет: сокращать дроби (делить числитель и знаменатель на общий делитель) и приводить дроби к общему знаменателю (умножать числитель и знаменатель на дополнительный множитель).

Основное свойство рациональной дроби

Теперь обобщим это свойство на рациональные дроби, где числитель и знаменатель - многочлены. Из-за того, что у нас и числитель и знаменатель являются многочленами появляются ограничения, которые критически важно учитывать.

Формулировка основного свойства

Основное свойство рациональной дроби:

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot C}$ , где $C \neq 0$

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : C}{B : C}$ , где $C \neq 0$

где $A$ и $B$ — многочлены ( $B \neq 0$ ), а $C$ - ненулевой многочлен .

Важное условие: При умножении или делении на $C$ нужно следить, чтобы $C \neq 0$ . Если $C$ содержит переменную, то при некоторых её значениях $C$ может обратиться в нуль - в этих точках преобразование не является тождественным.

📌 Важно запомнить: Основное свойство дроби - это тождественное преобразование, но только на области допустимых значений, где $B \neq 0$ и $C \neq 0$ .

Применение свойства: сокращение дробей

Сокращение дроби - это деление числителя и знаменателя на их общий множитель.

Алгоритм сокращения дроби

Разложить числитель и знаменатель на множители .
Найти общие множители.
Разделить числитель и знаменатель на общие множители .
Записать ОДЗ (значения переменной, при которых сокращение допустимо) и только потом сокращать

Примеры сокращения дробей

Сокращение одночленов

Сократим дробь $\dfrac{6x^3}{8x^2}$ .

Решение:

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $2x^2$ .

$\dfrac{6x^3}{8x^2} = \dfrac{6x^3 : 2x^2}{8x^2 : 2x^2} = \dfrac{3x}{4}$

ОДЗ: $x \neq 0$

Ответ: $\dfrac{3x}{4}$ , при $x \neq 0$ .

Сокращение с помощью формул сокращённого умножения

Сократим дробь $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ .

Решение:

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$

Сокращаем на $(x + 2)$ :

$= x - 2$

ОДЗ: $x \neq -2$

Ответ: $x - 2$ , при $x \neq -2$ .

Сокращение способом группировки

Сократим дробь $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}$ .

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2 - 2x = x(x - 2)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

Сокращаем на $(x - 2)$ :

$= \dfrac{x}{x + 2}$

ОДЗ: $x \neq 2$ , $x \neq -2$

Ответ: $\dfrac{x}{x + 2}$ , при $x \neq \pm2$ .

Приведение к общему знаменателю

Основное свойство дроби также используется для приведения дробей к общему знаменателю. Это то, что вы будете делать чаще всего при решении уравнений с рациональными дробями и текстовых задач на ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Алгоритм приведения к общему знаменателю

Разложить знаменатели дробей на множители .
Найти общий знаменатель - произведение всех различных множителей, взятых в наибольшей степени .
Для каждой дроби найти дополнительный множитель .
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .

Пример приведения к общему знаменателю

Пример: приведение дробей к общему знаменателю

Приведём дроби $\dfrac{2}{x}$ и $\dfrac{3}{x^2}$ к общему знаменателю.

Решение:

Знаменатели: $x$ и $x^2$ .

Общий знаменатель: $x^2$ .

Дополнительный множитель для первой дроби: $\dfrac{x^2}{x} = x$ .

Дополнительный множитель для второй дроби: $\dfrac{x^2}{x^2} = 1$ .

$\dfrac{2}{x} = \dfrac{2 \cdot x}{x \cdot x} = \dfrac{2x}{x^2}$

$\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{3}{x^2}$

Ответ: $\dfrac{2x}{x^2}$ и $\dfrac{3}{x^2}$ .

Типичные ошибки при применении основного свойства

Ошибка 1: Сокращение на выражение без учёта ОДЗ

Неправильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$

(без указания $x \neq 0$ )

Правильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$ , при $x \neq 0$

Ошибка 2: Сокращение отдельных слагаемых в числителе или знаменателе

Неправильно

$\dfrac{x + 2}{2} = x$

(сократили слагаемое в числителе)

Правильно

$\dfrac{x + 2}{2} = \dfrac{x}{2} + 1$

(слагаемое $x$ и слагаемое $2$ — не одно и то же)

Ошибка 3: Неправильное приведение к общему знаменателю

Неправильно

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x}$

(не нашли общий знаменатель)

Правильно

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x} + \dfrac{x}{2x} = \dfrac{x + 2}{2x}$

💡 Совет: При сокращении дроби всегда разлагайте числитель и знаменатель на множители. Сокращать можно только множители, а не слагаемые. И всегда записывайте ОДЗ.

Тренажёры по основному свойству рациональной дроби

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Основное свойство рациональной дроби». Мы собрали тренажёры, в ходе решения которых вам предстоит воспользоваться основным свойством рациональной дроби.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.