Простые и составные числа - разбор темы 8 класса и тренажёры

Простые и составные числа - это фундаментальное понятие в математике, с которым вы уже встречались в 5-6 классах. В курсе алгебры 8 класса мы углубим знания: научимся применять свойства простых чисел для решения олимпиадных задач, доказывать утверждения и использовать основную теорему арифметики. Эти знания необходимы для понимания многих разделов алгебры и теории чисел, а также для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.

На этой странице вы найдёте всё, что нужно знать о простых и составных числах: определения, свойства, алгоритмы разложения на множители, практические примеры и даже применение простых чисел в современной криптографии. Материал структурирован так, чтобы у вас не осталось вопросов после прочтения.

Что такое простые и составные числа

Простое число - это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Составное число - это натуральное число, большее 1, которое имеет более двух делителей. Примеры составных чисел: 4 (делители: 1, 2, 4), 6 (делители: 1, 2, 3, 6), 8 (делители: 1, 2, 4, 8), 9 (делители: 1, 3, 9), 10 (делители: 1, 2, 5, 10).

Число 1 не является ни простым, ни составным, так как имеет только один делитель.

Важно запомнить: Число 2 - наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, все остальные простые числа - нечётные.

Свойства простых чисел

Простые числа обладают рядом важных свойств, которые помогают при решении задач. Мы рекомендуем запомнить их и использовать при решении олимпиадных заданий и заданий повышенной сложности.

Свойства простых чисел будут использоваться вплоть до ЕГЭ по математике и самый простой способ их запомнить - прорешать задания на простые числа в тренажерах.

Ключевые свойства

Свойство 1. Простых чисел бесконечно много. Это было доказано ещё Евклидом в Древней Греции.

Свойство 2. Любое составное число можно разложить на простые множители, и такое разложение единственно с точностью до порядка множителей.

Свойство 3. Если простое число $p$ делит произведение $ab$ , то $p$ является делителем хотя бы одного из множителей $a$ или $b$ .

Свойство 4. При делении простого числа $p > 3$ на 6 возможны только остатки 1 и 5, то есть любое простое число $p > 3$ имеет вид $6k \pm 1$ .

Свойство 5. Квадрат простого числа $p > 3$ при делении на 12 даёт остаток 1. Или, что то же самое, $(p^2 - 1)$ делится на 24.

Решето Эратосфена

Решето Эратосфена - $n^4$ это древний алгоритм для нахождения всех простых чисел до заданного числа $n$ . Он был придуман древнегреческим математиком Эратосфеном Киренским и до сих пор используется в математике и информатике.

Алгоритм работы решета Эратосфена

Выписать подряд все натуральные числа от 2 до $n$ .
Взять первое незачёркнутое число (это будет 2) и зачеркнуть все числа, кратные ему (кроме самого числа).
Взять следующее незачёркнутое число (это будет 3) и зачеркнуть все числа, кратные ему.
Продолжать этот процесс до тех пор, пока квадрат текущего числа не станет больше $n$ .
Все незачёркнутые числа в списке - простые.

Пример: Найдём простые числа до 30.

Выписываем числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

Зачёркиваем числа, кратные 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.

Зачёркиваем числа, кратные 3: 9, 15, 21, 27.

Зачёркиваем числа, кратные 5: 25.

Незачёркнутые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - это простые числа до 30.

Разложение на простые множители

Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число $n > 1$ можно представить в виде произведения простых чисел, и это представление единственно с точностью до перестановки множителей.

Как разложить число на простые множители

Алгоритм:

Проверить делимость числа на 2. Если делится - разделить.
Если число не делится на 2, проверить делимость на 3.
Проверять делимость на 5, 7, 11 и так далее - на все простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$ .
Продолжать деление до тех пор, пока не получится 1.

Пример: Разложим число 48 на простые множители.

$48 : 2 = 24$

$24 : 2 = 12$

$12 : 2 = 6$

$6 : 2 = 3$

$3 : 3 = 1$

Записываем разложение: $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

💡 Совет: При разложении на простые множители удобно использовать деление столбиком (вертикальной чертой) или дерево множителей. Оба способа дают один и тот же результат.

Как определить, является ли число простым

Существует простой способ проверить, является ли число $n$ простым: достаточно проверить, делится ли оно на какое-нибудь простое число, не превосходящее $\sqrt{n}$ .

Алгоритм проверки простоты числа

Пример: Проверим, является ли число 101 простым.

$\sqrt{101} \approx 10,04$

Проверяем делимость на простые числа, не превосходящие 10: 2, 3, 5, 7.

$101$ не делится на 2 (нечётное).

$101$ не делится на 3 (сумма цифр $1+0+1=2$ , не делится на 3).

$101$ не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).

$101$ не делится на 7 ( $7 \cdot 14 = 98$ , $7 \cdot 15 = 105$ ).

Значит, 101 — простое число.

Решение задач на простые числа

Рассмотрим несколько задач, которые часто встречаются в олимпиадах и на факультативных занятиях.

Задача 1: Нахождение простого числа по условию

Пример 1: Числа p, 2p+1, 4p+1 — простые

Известно, что $p$ , $2p+1$ , $4p+1$ — простые числа. Найдите $p$ .

Решение:

Проверим $p = 3$ : $2 \cdot 3 + 1 = 7$ (простое), $4 \cdot 3 + 1 = 13$ (простое). Подходит.

Докажем, что других значений нет.

Если $p > 3$ , то $p$ имеет вид $6k \pm 1$ .

Пусть $p = 6k - 1$ :

$4p + 1 = 4(6k - 1) + 1 = 24k - 3 = 3(8k - 1)$ — составное число.

Пусть $p = 6k + 1$ :

$2p + 1 = 2(6k + 1) + 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1)$ — составное число.

Ответ: $p = 3$ .

Задача 2: Простое число вида $n^4 + 4$

Пример 2: При каких n число простое?

При каких натуральных $n$ число $n^4 + 4$ является простым?

Решение:

Используем формулу разложения:

$n^4 + 4 = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)$

Это произведение двух множителей. Чтобы число было простым, один из множителей должен быть равен 1.

$n^2 - 2n + 2 = 1$

$n^2 - 2n + 1 = 0$

$(n - 1)^2 = 0$

$n = 1$

При $n = 1$ : $1^4 + 4 = 5$ — простое число.

При $n \ge 2$ оба множителя больше 1, значит, число составное.

Ответ: $n = 1$ .

Простые числа в криптографии

Простые числа играют огромную роль в современной жизни - они лежат в основе систем шифрования данных, которые защищают наши пароли и банковские транзакции в интернете.

Как это работает

В криптографии используются очень большие простые числа (сотни цифр). Сложность разложения произведения двух больших простых чисел на множители является основой надёжности RSA-шифрования.

Чтобы взломать шифр, нужно разложить на простые множители число, состоящее из более чем 300 цифр. Даже самые мощные компьютеры тратят на это многие годы.

Так что простые числа - это не только абстрактная математика, но и основа вашей безопасности в интернете!

Тренажёры по простым и составным числам

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Простые и составные числа». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от базовых определений до олимпиадных задач на доказательство.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.

Особое внимание уделено отработке навыков разложения на простые множители и определению простоты числа - эти навыки часто проверяются на олимпиадах и в заданиях повышенной сложности, особенно в последнем задании в ЕГЭ по математике профильного уровня.