Рациональные дроби - определение, свойства, действия, примеры. Алгебра 8 класс

Рациональные дроби - это важное понятие в алгебре 8 класса, которое расширяет известные вам обыкновенные дроби. Вместо чисел в числителе и знаменателе здесь могут стоять многочлены.

На этой странице вы узнаете, что такое рациональные выражения и дроби, познакомитесь с их основным свойством и научитесь выполнять тождественные преобразования. Эти навыки необходимы для решения уравнений и успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Рациональное выражение - это выражение, составленное из чисел, переменных и их степеней с помощью арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в натуральную степень.

Рациональная дробь (алгебраическая дробь) - это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.

Что такое рациональные выражения

Все алгебраические выражения делятся на целые и дробные.

Целые и дробные выражения

Целые выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Примеры: $3x^2 - 2x + 5$ , $\dfrac{x}{2} + 3$ , $2x \cdot (x - 1)$ .

Дробные выражения — это выражения, которые содержат деление на выражение с переменной.

Примеры: $\dfrac{2x}{x - 3}$ , $\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}$ , $\dfrac{5}{x} + 2$ .

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения вместе взятые.

Пример: $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ — рациональное выражение (дробное).

📌 Важно запомнить: Ключевое отличие целых выражений от дробных - наличие деления на выражение с переменной. Если переменная есть в знаменателе - выражение дробное.

Что такое рациональная дробь

Рациональная дробь - это частный случай дробного выражения.

Определение рациональной дроби

Определение. Рациональной дробью (или алгебраической дробью) называется дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.

Примеры рациональных дробей:
$\dfrac{3x - 5}{2x^2 + 1}$
$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$
$\dfrac{7}{x}$
$\dfrac{2x^3 - x + 1}{x^2 - 3x + 2}$

НЕ являются рациональными дробями:
$\dfrac{x + 3}{\sqrt{x} + 1}$ — нет, знаменатель не является многочленом.

📌 Обратите внимание: Рациональные дроби - это подмножество дробных выражений. Не всякое дробное выражение является рациональной дробью (например, если в знаменателе стоит корень).

ОДЗ рациональной дроби

Рациональная дробь имеет смысл только при тех значениях переменных, при которых знаменатель не обращается в нуль.

Область допустимых значений

Определение. Область допустимых значений (ОДЗ) рациональной дроби — это множество значений переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Пример: Для дроби $\dfrac{3x}{x - 2}$ знаменатель $x - 2 \neq 0$ , значит $x \neq 2$ .

Пример: Для дроби $\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}$ знаменатель $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \neq 0$ , значит $x \neq \pm2$ .

Основное свойство рациональной дроби

Как и у обыкновенных дробей, у рациональных дробей есть основное свойство, которое позволяет их преобразовывать.

Основное свойство

Основное свойство рациональной дроби: Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot C}$ , где $C \neq 0$

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : C}{B : C}$ , где $C \neq 0$

Пример:

$\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$ , при $x \neq 1$

Сокращение рациональных дробей

Деление числителя и знаменателя рациональной дроби на их общий множитель называется сокращением дроби.

Алгоритм сокращения дроби

Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
Найти общие множители числителя и знаменателя.
Разделить числитель и знаменатель на их общие множители.

Пример 1: Сократим дробь $\dfrac{6x^3}{8x^2}$ .

$\dfrac{6x^3}{8x^2} = \dfrac{3x}{4}$ (сократили на $2x^2$ )

Пример 2: Сократим дробь $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ .

$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$ , при $x \neq -2$

Пример 3: Сократим дробь $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}$ .

$\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x}{x + 2}$ , при $x \neq 2$

Приведение к общему знаменателю

Приведение рациональных дробей к общему знаменателю необходимо для их сложения и вычитания.

Алгоритм приведения к общему знаменателю

Разложить знаменатели дробей на множители.
Найти общий знаменатель — это произведение всех различных множителей, взятых в наибольшей степени.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель (общий знаменатель разделить на знаменатель этой дроби).
Умножить числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Пример: Приведём дроби $\dfrac{2}{x}$ и $\dfrac{3}{x^2}$ к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $x^2$ .

$\dfrac{2}{x} = \dfrac{2x}{x^2}$ (дополнительный множитель $x$ )

$\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{3}{x^2}$ (дополнительный множитель $1$ )

💡 Совет: При приведении дробей к общему знаменателю всегда разлагайте знаменатели на множители. Это поможет найти правильный общий знаменатель и избежать ошибок.

Действия с рациональными дробями

С рациональными дробями можно выполнять те же действия, что и с обыкновенными: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями

Правило

$\dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C} = \dfrac{A + B}{C}$

$\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A - B}{C}$

Пример: $\dfrac{2x}{x + 1} + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{2x + 3}{x + 1}$

Сложение и вычитание с разными знаменателями

Сначала дроби приводят к общему знаменателю, затем складывают или вычитают числители.

Пример: сложение дробей с разными знаменателями

Выполним сложение: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 1}$ .

Решение:

Общий знаменатель: $x(x - 1)$ .

$\dfrac{3}{x} = \dfrac{3(x - 1)}{x(x - 1)}$

$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{2x}{x(x - 1)}$

$\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3(x - 1) + 2x}{x(x - 1)} = \dfrac{3x - 3 + 2x}{x(x - 1)} = \dfrac{5x - 3}{x(x - 1)}$

Умножение рациональных дробей

Правило умножения

$\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Пример: $\dfrac{2x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x^2} = \dfrac{2x(x - 1)}{x^2(x + 1)} = \dfrac{2(x - 1)}{x(x + 1)}$

Деление рациональных дробей

Правило деления

$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Пример: $\dfrac{2x}{x + 1} : \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{2x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{2(x - 1)}{x + 1}$

Возведение рациональной дроби в степень

Правило возведения в степень

$\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}$

Пример: $\left(\dfrac{2x}{y}\right)^3 = \dfrac{8x^3}{y^3}$

Типичные ошибки при работе с рациональными дробями

Ошибка 1: Сокращение на выражение, которое может быть равно нулю

Неправильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$

(сократили на $x$ без учёта $x \neq 0$ )

Правильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$ , при $x \neq 0$

Ошибка 2: Сложение дробей без приведения к общему знаменателю

Неправильно

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x}$

(не нашли общий знаменатель)

Правильно

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x} + \dfrac{x}{2x} = \dfrac{x + 2}{2x}$

Ошибка 3: Переворот не той дроби при делении

Неправильно

$\dfrac{2}{x} : \dfrac{3}{y} = \dfrac{3x}{2y}$

(перевернули не ту дробь)

Правильно

$\dfrac{2}{x} : \dfrac{3}{y} = \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{y}{3} = \dfrac{2y}{3x}$

💡 Совет: При работе с рациональными дробями всегда записывайте ОДЗ (значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю). Это поможет избежать ошибок и потери корней в уравнениях.

Тренажёры по рациональным дробям

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Рациональные дроби». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от распознавания дробей до сложных тождественных преобразований.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.