Равносильные уравнения

На данной странице разберем две важные темы из курса алгебры 8 класса: равносильные уравнения и уравнения-следствия. Понимание этих понятий позволяет правильно выполнять преобразования уравнений, не терять корни и не приобретать посторонние при решении уравнений.

Сначала разберем определения и основную теорию по этим темам.

Равносильные уравнения - это уравнения, множества корней которых совпадают. Иными словами, каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот.

Уравнение-следствие - это уравнение, которое содержит все корни исходного уравнения, но может иметь и дополнительные (посторонние) корни.

Разберём равносильные уравнения на примерах

Примеры равносильных уравнений:

$2x + 3 = 7$ и $2x = 4$ — оба имеют корень $x = 2$ .
$x^2 = 3x - 2$ и $x^2 - 3x + 2 = 0$ — оба имеют корни $x = 1$ и $x = 2$ .
$x^2 + 1 = 0$ и $\sqrt{x} = -3$ — оба не имеют корней.

📌 Важно запомнить: Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Равносильные преобразования уравнений

Существуют преобразования, которые всегда приводят к равносильному уравнению. Их можно выполнять без опасений — корни уравнений не изменятся.

Преобразования, сохраняющие равносильность

Свойство 1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Пример: $4x - 3 = 2x + 5 \iff 4x - 2x = 5 + 3 \iff 2x = 8$

Свойство 2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Пример: $\dfrac{x}{4} = 2 \iff x = 8$

Свойство 3. Тождественное преобразование любой части уравнения, не меняющее область определения.

Пример: $x^2 + 2x + 1 = 4 \iff (x + 1)^2 = 4$

Пример решения уравнения с равносильными преобразованиями

Пример: решение уравнения с равносильными преобразованиями

Решим уравнение $3x - 7 = 2x + 5$ с помощью равносильных преобразований.

Шаг 1. Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, числа — в правую:

$3x - 2x = 5 + 7$

Шаг 2. Приводим подобные члены:

$x = 12$

Ответ: $x = 12$

Все преобразования были равносильными, поэтому проверка не требуется.

Уравнение-следствие

В отличие от равносильных преобразований, некоторые действия могут привести к появлению посторонних корней. В таких случаях мы получаем уравнение-следствие.

Определение уравнения-следствия

Определение. Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Пример: Уравнение $(x - 2)^2 = 9$ является следствием уравнения $x - 2 = 3$ .

Решим их:

$x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$

$(x - 2)^2 = 9 \Rightarrow x - 2 = 3$ или $x - 2 = -3 \Rightarrow x_1 = 5$ , $x_2 = -1$

Корень первого уравнения ( $x = 5$ ) является одним из корней второго. Значит, второе уравнение - следствие первого. Однако, второй корень $x = -1$ - посторонний.

📌 Важно запомнить: Если уравнение $A$ является следствием уравнения $B$ , то все корни $B$ содержатся среди корней $A$ . Но не все корни $A$ обязательно являются корнями $B$ .

Когда появляются посторонние корни

Посторонние корни появляются тогда, когда мы выполняем неравносильные преобразования уравнений.

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Следующие преобразования могут привести к появлению посторонних корней:
Возведение обеих частей уравнения в чётную степень.
Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной (освобождение от знаменателя).
Сокращение дроби на выражение с переменной.
Приведение подобных членов в некоторых случаях.
Потенцирование логарифмических уравнений.

💡 Совет: Если вы выполнили преобразование, которое не является равносильным, обязательно сделайте проверку подстановкой корней в исходное уравнение.

Как работать с уравнением-следствием

При использовании уравнений-следствий обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

Алгоритм решения с проверкой

Этапы решения:

Технический этап. Выполняем преобразования, находим корни последнего (самого простого) уравнения.
Анализ решения. Определяем, все ли преобразования были равносильными. Если нет — получили уравнение-следствие.
Проверка. Подставляем каждый найденный корень в исходное уравнение. Посторонние корни отбрасываем.

Можно использовать значок $\Rightarrow$ для обозначения перехода к уравнению-следствию — это будет напоминать о необходимости проверки.

Пример решения с уравнением-следствием

Пример: уравнение с посторонним корнем

Решим уравнение $\sqrt{2x + 3} = x$ .

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат (получаем уравнение-следствие):

$2x + 3 = x^2$

Шаг 2. Решаем полученное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$x_1 = 3$ , $x_2 = -1$

Шаг 3. Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$x = 3$ : $\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3$ — верно, $x = 3$ — корень.

$x = -1$ : $\sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = \sqrt{1} = 1$ — не равно $-1$ .

Ответ: $x = 3$

Сравнение равносильных уравнений и уравнений-следствий

Преобразование

Равносильное?

Что происходит

Перенос слагаемых

✅ Да

Корни не меняются

Умножение на число $\neq 0$

✅ Да

Корни не меняются

Умножение на выражение с переменной

❌ Нет

Могут появиться посторонние корни

Возведение в чётную степень

❌ Нет

Могут появиться посторонние корни

Сокращение дроби

❌ Нет

Может привести к потере корней

Тренажёры по равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям

На платформе Экзамео мы собрали большое количество заданий с равносильными преобразованиями и с заданиями, в ходе решения которых вы получите уравнения-следствия.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике.