Сложение и вычитание рациональных дробей. Алгебра 8 класс

Сложение и вычитание рациональных дробей - тема, которая проходится в курсе алгебры 8 класса. Умение складывать и вычитать дроби с переменными необходимо для упрощения выражений, решения уравнений и выполнения других операций с рациональными выражениями. На этой странице вы узнаете, как выполнять эти действия как с одинаковыми, так и с разными знаменателями, и научитесь правильно оформлять решения.

В 5-6 классах вы уже научились складывать и вычитать обыкновенные дроби. В 8 классе эти правила полностью сохраняются - меняются только объекты: вместо чисел в числителях и знаменателях стоят многочлены.

Рациональные дроби - это дроби, числитель и знаменатель которых являются многочленами.

Сложение и вычитание рациональных дробей выполняются по тем же правилам, что и сложение и вычитание обыкновенных дробей.

1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Это самый простой случай. Правило полностью совпадает с правилом для обыкновенных дробей - главное все действия происходят с числителем дроби, знаменатель сохраняется.

Правило

$\dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C} = \dfrac{A + B}{C}$

$\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A - B}{C}$

Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1: $\dfrac{3x}{7} + \dfrac{2x}{7} = \dfrac{5x}{7}$

Пример 2: $\dfrac{5x}{x - 1} - \dfrac{2x}{x - 1} = \dfrac{3x}{x - 1}$

Пример 3: $\dfrac{x + 3}{x + 2} + \dfrac{2x - 1}{x + 2} = \dfrac{3x + 2}{x + 2}$

2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если знаменатели дробей разные, их нужно привести к общему знаменателю.

Алгоритм действий

Разложить знаменатели дробей на множители - нужно для того, чтобы не перемножать большие выражения, вдруг в разложении на множители вы найдете одинаковые части.
Найти общий знаменатель - произведение всех различных множителей, взятых в наибольшей степени.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель.
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
Сложить или вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Если возможно, сократить результат.

Пример сложения дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями

Выполните сложение: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 1}$ .

Решение:

Знаменатели: $x$ и $x - 1$ .

Общий знаменатель: $x(x - 1)$ .

Дополнительный множитель для первой дроби: $x - 1$ .

Дополнительный множитель для второй дроби: $x$ .

$\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3(x - 1)}{x(x - 1)} + \dfrac{2x}{x(x - 1)} = \dfrac{3x - 3 + 2x}{x(x - 1)} = \dfrac{5x - 3}{x(x - 1)}$

ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq 1$

Ответ: $\dfrac{5x - 3}{x(x - 1)}$ .

Пример вычитания дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями

Выполните вычитание: $\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{1}{x - 1}$ .

Решение:

Знаменатели: $x + 1$ и $x - 1$ .

Общий знаменатель: $(x + 1)(x - 1)$ .

Дополнительный множитель для первой дроби: $x - 1$ .

Дополнительный множитель для второй дроби: $x + 1$ .

$\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \dfrac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{2x - 2 - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}$

$= \dfrac{2x - 2 - x - 1}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}$

ОДЗ: $x \neq \pm1$

Ответ: $\dfrac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}$ .

Пример с разложением знаменателей на множители

Сложение с разложением на множители

Выполните сложение: $\dfrac{3}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x - 2}$ .

Решение:

Разложим знаменатель первой дроби: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .

Общий знаменатель: $(x - 2)(x + 2)$ .

$\dfrac{3}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3}{(x - 2)(x + 2)} + \dfrac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \dfrac{3 + x + 2}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)}$

ОДЗ: $x \neq \pm2$

Ответ: $\dfrac{x + 5}{x^2 - 4}$ .

Пример с последующим сокращением

Сложение с последующим сокращением

Выполните сложение: $\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 1}$ .

Решение:

Знаменатели одинаковые:

$\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{x + 1}{x + 1} = 1$

ОДЗ: $x \neq -1$

Ответ: $1$ , при $x \neq -1$ .

Особые случаи при сложении и вычитании

Случай 1: Знаменатели — противоположные выражения

Иногда знаменатели являются противоположными выражениями, например $x - 2$ и $2 - x$ . В этом случае одну из дробей нужно умножить числитель и знаменатель на $-1$ , чтобы привести к общему знаменателю.

Это момент, который вы будете очень часто встречать и просим обратить на него особое внимание.

Пример 8: Противоположные знаменатели

Выполните вычитание: $\dfrac{3x}{x - 2} - \dfrac{x}{2 - x}$ .

Решение:

Заметим, что $2 - x = -(x - 2)$ .

Преобразуем вторую дробь: $\dfrac{x}{2 - x} = \dfrac{x}{-(x - 2)} = -\dfrac{x}{x - 2}$

Тогда:

$\dfrac{3x}{x - 2} - \left(-\dfrac{x}{x - 2}\right) = \dfrac{3x}{x - 2} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{4x}{x - 2}$

ОДЗ: $x \neq 2$

Ответ: $\dfrac{4x}{x - 2}$ .

Типичные ошибки при сложении и вычитании дробей

Ошибка 1: Складывают знаменатели

Частая ошибка на старте изучения темы: знаменатели складывают напрямую, вместо того чтобы привести дроби к общему знаменателю.

Неправильно

$\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{2x}$

Правильно

$\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{x}$

Ошибка 2: Неправильное раскрытие скобок при вычитании

Обратите внимание: эту ошибку допускают даже в 11 классе — при вычитании дробно-рациональных выражений забывают о знаке при приведении к общему знаменателю. Поэтому, после приведения к общему знаменателю при вычитании всегда ставьте скобки перед вычитаемым

Неправильно

$\dfrac{2x + 1}{x} - \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{2x + 1 - x - 3}{x}$

Правильно

$\dfrac{2x + 1}{x} - \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{2x + 1 - (x - 3)}{x} = \dfrac{x + 4}{x}$

Ошибка 3: Забывают про ОДЗ

Частая ошибка при решении уравнений: забывают про ОДЗ, из-за чего в ответ попадают посторонние корни. Если у вас в ответе будет посторонний корень - это будет неправильно решенное задание

Неправильно

$\dfrac{x}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1} = 1$

Правильно

$\dfrac{x}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1} = 1$ , при $x \neq 1$

💡 Совет: При вычитании дробей всегда заключайте числитель второй дроби в скобки, чтобы не ошибиться со знаками. И всегда записывайте ОДЗ.

Тренажёры по сложению и вычитанию рациональных дробей

Интерактивные тренажёры по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей» - от простых заданий до сложных преобразований. Подробные решения, объяснение алгоритма и подсказки при ошибках.