Теорема о биссектрисе треугольника: свойство, доказательство и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Теорема о биссектрисе треугольника» по геометрии для 8 класса. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь восьмиклассникам досконально понять одно из главных пропорциональных свойств треугольника, научиться доказывать теорему о биссектрисе и без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Теорема о биссектрисе — фундаментальное правило геометрии 8 класса, связывающее углы и пропорциональные отрезки сторон. Это свойство регулярно используется при решении сложных задач на подобие треугольников и подготовка к экзаменам.

Свойство биссектрисы треугольника

Рассмотрите формулировку ключевой теоремы, пропорциональное соотношение отрезков и подробное математическое доказательство.

Формулировка теоремы о биссектрисе треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Математическая запись пропорции:

Если $BL$ — биссектриса треугольника $\triangle ABC$ , то выполняется равенство:

\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC} \quad \text{или} \quad \dfrac{AL}{AB} = \dfrac{LC}{BC}

(Отрезок противоположной стороны относится к прилежащей боковой стороне так же, как второй отрезок относится ко второй боковой стороне).

Доказательство теоремы о биссектрисе через площади или подобие

Доказательство (через отношение площадей):

1) Пусть $BL$ — биссектриса угла $B$ в $\triangle ABC$ . Проведём высоты $h_1$ и $h_2$ из точки $L$ к сторонам $AB$ и $BC$ . Так как точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, то $h_1 = h_2 = h$ .

2) Выразим отношение площадей треугольников $\triangle ABL$ и $\triangle CBL$ двумя способами:

• С одной стороны, треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle CBL$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $B$ к прямой $AC$ . Значит, отношение их площадей равно отношению оснований:

\dfrac{S_{\triangle ABL}}{S_{\triangle CBL}} = \dfrac{AL}{LC}

• С другой стороны, площади этих же треугольников можно записать через высоты $h$ , опущенные из точки $L$ на стороны $AB$ и $BC$ :

\dfrac{S_{\triangle ABL}}{S_{\triangle CBL}}=\dfrac{\frac{1}{2} AB \cdot h}{\frac{1}{2} BC \cdot h}=\dfrac{AB}{BC}

3) Приравнивая левые части, получаем: $\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}$ . Теорема доказана.

Чтобы не перепутать отрезки при составлении пропорции, пользуйтесь простыми правилами:

Правило «Каждому отрезку — своя сторона» 💡

Запомните: левый отрезок относится к левой стороне так же, как правый отрезок относится к правой стороне!
Если основание разделено в отношении $2 : 3$ , то и боковые стороны треугольника относятся как $2 : 3$ (то есть стороны можно обозначить как $2x$ и $3x$ ).

Разбор решения задач на теорему о биссектрисе за 8 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии на теорему о биссектрисе треугольника в 8 классе.

Пример 1: Нахождение отрезков стороны, на которые её делит биссектриса

Задание: В треугольнике $ABC$ стороны равны $AB = 10\text{ см}$ , $BC = 15\text{ см}$ , $AC = 20\text{ см}$ . Из вершины $B$ проведена биссектриса $BD$ . Найдите длины отрезков $AD$ и $DC$ .

Подробное решение:

1) По теореме о биссектрисе треугольника:
$\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ .

2) Пусть отрезок $AD = 2x\text{ см}$ , тогда $DC = 3x\text{ см}$ .

3) Так как весь отрезок $AC = AD + DC = 20\text{ см}$ , составим уравнение:
$2x + 3x = 20 \implies 5x = 20 \implies x = 4$ .

4) Найдем длины отрезков:
$AD = 2 \cdot 4 = 8\text{ см}$ ;
$DC = 3 \cdot 4 = 12\text{ см}$ .

Ответ: $AD = 8\text{ см}$ , $DC = 12\text{ см}$ .

Пример 2: Нахождение стороны треугольника через биссектрису

Задание: Биссектриса $AD$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 6\text{ см}$ и $CD = 9\text{ см}$ . Найдите сторону $AB$ , если сторона $AC = 12\text{ см}$ .

Подробное решение:

1) По теореме о биссектрисе треугольника:
$\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}$ .

2) Подставим известные значения из условия:
$\dfrac{6}{9} = \dfrac{AB}{12}$ .

3) Выразим $AB$ по основному свойству пропорции:
$AB = \dfrac{6 \cdot 12}{9} = \dfrac{72}{9} = 8\text{ см}$ .

Ответ: $AB = 8\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Теорема о биссектрисе» на Экзамео

Закрепите теорему о биссектрисе треугольника и пропорциональные отрезки на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме «Теорема о биссектрисе треугольника» за 8 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии. К каждому заданию вы найдете подробное решение, которое поможет разобраться в теме и понять ошибки

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы