Обратная теорема Пифагора: формула, признак и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Теорема, обратная теореме Пифагора» по геометрии для 8 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядными формулировками, строгим доказательством, пифагоровыми тройками, понятием египетского треугольника и подробным разбором типовых задач из самостоятельных, контрольных работ и ОГЭ.

Обратная теорема Пифагора — это главный признак прямоугольного треугольника в школьной планиметрии. В отличие от прямой теоремы (которая вычисляет неизвестную сторону в уже прямоугольном треугольнике), обратная теорема позволяет доказать, что угол треугольника равен $90^\circ$ , зная только длины трёх его сторон.

Обратная теорема Пифагора

Ниже подробно разобраны формулировка теоремы, её математическое доказательство через равенство треугольников и таблица пифагоровых троек.

Формулировка обратной теоремы Пифагора для 8 класса

Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник является прямоугольным.

$c^2 = a^2 + b^2 \implies \angle C = 90^\circ$

Прямой угол $90^\circ$ всегда лежит напротив наибольшей стороны $c$ , которая в таком треугольнике становится гипотенузой.

Строгое доказательство обратной теоремы Пифагора

Доказательство:

1) Пусть дан треугольник $ABC$ , для сторон которого выполняется равенство $AB^2 = AC^2 + BC^2$ . Докажем, что угол $\angle C = 90^\circ$ .

2) Построим вспомогательный прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1 = 90^\circ$ , у которого катеты равны катетам исходного треугольника: $A_1C_1 = AC$ и $B_1C_1 = BC$ .

3) По прямой теореме Пифагора для треугольника $A_1B_1C_1$ найдем гипотенузу: $A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 = AC^2 + BC^2$ .

4) Но по условию $AC^2 + BC^2 = AB^2$ . Следовательно, $A_1B_1^2 = AB^2 \implies A_1B_1 = AB$ .

5) Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трём сторонам ( $AC = A_1C_1$ , $BC = B_1C_1$ , $AB = A_1B_1$ ). Из равенства треугольников следует равенство их углов: $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ . Теорема доказана.

Египетский треугольник и пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки — это наборы из трёх натуральных чисел $a, b, c$ , удовлетворяющие равенству $a^2 + b^2 = c^2$ . По обратной теореме Пифагора треугольник с такими длинами сторон всегда прямоугольный.

• Египетский треугольник — прямоугольный треугольник со сторонами $3, 4, 5$ . Это самая известная пифагорова тройка ( $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ).

Таблица наиболее частых пифагоровых троек для быстрых вычислений:

Катет $a$

Катет $b$

Гипотенуза $c$

Проверка равенства

$9 + 16 = 25$

$25 + 144 = 169$

$64 + 225 = 289$

$49 + 576 = 625$

$81 + 1600 = 1681$

Полезное свойство подобия! 💡

Если каждую сторону пифагорова треугольника умножить на одно и то же число $k$ , получим новый прямоугольный треугольник!
Например, умножив тройку $(3, 4, 5)$ на $2$ , получим $(6, 8, 10)$ , на $3$ — $(9, 12, 15)$ , на $10$ — $(30, 40, 50)$ . Все эти треугольники гарантированно прямоугольные!

Применение в строительстве и разметке углов

Свойство египетского треугольника используется строителями с древнейших времен до наших дней для построения точного прямого угла $90^\circ$ прямо на земле без угольника.

Построение прямого угла на местности 🏗️

Чтобы заложить фундамент дома под прямым углом, строители берут верёвку с $12$ равными узелками, связывают её в кольцо и натягивают на колышках со сторонами в $3$ , $4$ и $5$ делений. Образовавшийся угол между сторонами $3$ и $4$ будет строго равен $90^\circ$ .

Проверка ровности стен и плитки 📐

При укладке плитки или монтаже гипсокартона мастера отмеряют от угла по стенам $60\text{ см}$ и $80\text{ см}$ . Если расстояние между отметками по диагонали ровно $100\text{ см}$ ( $1\text{ м}$ ), значит, стены сходятся под идеальным прямым углом!

Пошаговый алгоритм проверки треугольника на прямоугольность

При решении задач на проверку прямоугольности треугольника за 8 класс придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Найдите наибольшую сторону треугольника: обозначьте ее за $c$ (предполагаемая гипотенуза). Две другие стороны обозначьте за $a$ и $b$ (предполагаемые катеты).

Вычислите квадрат наибольшей стороны: найдите значение $c^2$ .

Вычислите сумму квадратов двух меньших сторон: найдите $a^2 + b^2$ .

Сравните результаты:
- Если $c^2 = a^2 + b^2$ , то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный (угол против стороны $c$ равен $90^\circ$ ).
- Если $c^2 \neq a^2 + b^2$ , то треугольник не является прямоугольным.

Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных, контрольных работ за 8 класс и экзамена ОГЭ по геометрии.

Пример 1: Проверка прямоугольности треугольника по трем сторонам

Задание: Является ли прямоугольным треугольник со сторонами $9\text{ см}$ , $12\text{ см}$ и $15\text{ см}$ ?

Подробное решение:

1) Наибольшая сторона равна $c = 15\text{ см}$ . Две другие стороны $a = 9\text{ см}$ , $b = 12\text{ см}$ .

2) Находим квадрат наибольшей стороны:
$c^2 = 15^2 = 225$

3) Находим сумму квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

4) Сравниваем: $c^2 = a^2 + b^2$ ( $225 = 225$ ).
По теореме, обратной теореме Пифагора, данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: да, треугольник прямоугольный.

Пример 2: Нахождение высоты и площади треугольника через прямоугольность

Задание: В треугольнике $ABC$ стороны равны $10\text{ см}$ , $24\text{ см}$ и $26\text{ см}$ . Найдите его площадь и высоту, проведённую к наибольшей стороне.

Подробное решение:

1) Проверим прямоугольность треугольника по обратной теореме Пифагора:
Наибольшая сторона $c = 26\text{ см}$ .
$c^2 = 26^2 = 676$ .
$a^2 + b^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$ .
Так как $26^2 = 10^2 + 24^2$ , треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $10\text{ см}$ и $24\text{ см}$ и гипотенузой $26\text{ см}$ .

2) Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов:
$S = \dfrac{1}{2} a \cdot b = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2$

3) С другой стороны, площадь треугольника равна полупроизведению гипотенузы на высоту $h_c$ :
$S = \dfrac{1}{2} c \cdot h_c \implies 120 = \dfrac{1}{2} \cdot 26 \cdot h_c \implies 13 h_c = 120 \implies h_c = \dfrac{120}{13} = 9\dfrac{3}{13} \text{ см}$

Ответ: $S = 120\text{ см}^2$ ; $h_c = 9\dfrac{3}{13}\text{ см}$ .

Тренажёры по обратной теореме Пифагора на Экзамео

Закрепите теорему, обратную теореме Пифагора, на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки с пифагоровыми тройками и проверочные тесты по теме «Теорема, обратная теореме Пифагора» за 8 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.