Тождественные преобразования рациональных выражений

Тождественные преобразования рациональных выражений - это одна из ключевых тем алгебры 8 класса, которая позволяет упрощать выражения, доказывать тождества и решать уравнения. Без навыков тождественных преобразований невозможно успешно сдать ОГЭ и ЕГЭ по математике, так как они лежат в основе практически всех алгебраических выкладок . На этой странице вы узнаете, что такое тождество, какие существуют основные приёмы преобразований и как применять их на практике.

В 7 классе вы уже познакомились с тождественными преобразованиями целых выражений: раскрытием скобок, приведением подобных слагаемых, формулами сокращённого умножения. Теперь наша задача расширить эти навыки на рациональные выражения, содержащие дроби с переменными в знаменателе.

Тождество - это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных .

Тождественное преобразование - это замена одного выражения на другое, тождественно равное ему, на некотором множестве чисел .

Что такое тождественные преобразования

Разберёмся с ключевыми понятиями, которые лежат в основе всей темы.

Примеры тождественных преобразований:

Раскрытие скобок: $a(b + c) = ab + ac$
Приведение подобных слагаемых: $3x + 5x = 8x$
Формулы сокращённого умножения: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Сокращение дроби: $\dfrac{2x}{4x^2} = \dfrac{1}{2x}$ (при $x \neq 0$ )

📌 Важно запомнить: При тождественных преобразованиях рациональных выражений нужно учитывать область допустимых значений (ОДЗ). Если в ходе преобразования ОДЗ меняется, то преобразование не является тождественным на исходном множестве .

Основные приёмы тождественных преобразований

Рассмотрим основные приёмы, которые используются при преобразовании рациональных выражений.

Разложение на множители

Способы разложения

Вынесение общего множителя за скобки: $ab + ac = a(b + c)$ .
Формулы сокращённого умножения:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Способ группировки: $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ .
Разложение квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Сокращение дробей

Сокращение дроби - это деление числителя и знаменателя на их общий множитель. Оно является тождественным, но нужно учитывать ОДЗ выражения, иначе при решении дробно-рациональных уравнений вы будете терять корни.

Алгоритм сокращения

Разложить числитель и знаменатель на множители .
Найти общие множители числителя и знаменателя.
Разделить числитель и знаменатель на эти множители .

Пример: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = \dfrac{x + 2}{x}$ , при $x \neq 0, x \neq 2$ .

Приведение к общему знаменателю

Приведение к общему знаменателю необходимо для сложения и вычитания рациональных дробей. Это основное действие, которое выполняется с рациональными буквенными выражениями - при помощи него вы будете в дальнейшем решать дробно-рациональные уравнения вплоть до ЕГЭ по математике.

Алгоритм приведения

Разложить знаменатели дробей на множители .
Найти общий знаменатель — произведение всех различных множителей, взятых в наибольшей степени.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель.
Умножить числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель .

Пример: $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{2x + 3}{x^2}$

Действия с рациональными дробями

Все действия с рациональными дробями выполняются по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями.

Сложение и вычитание

Правила сложения и вычитания

С одинаковыми знаменателями: $\dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C} = \dfrac{A + B}{C}$

С разными знаменателями: привести к общему знаменателю, затем сложить числители.

Пример: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3(x - 1)}{x(x - 1)} + \dfrac{2x}{x(x - 1)} = \dfrac{5x - 3}{x(x - 1)}$

Умножение и деление

Умножение: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Пример: $\dfrac{x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{x - 1}{x + 1}$

Деление: $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Пример: $\dfrac{x}{x + 1} : \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{x - 1}{x + 1}$

Возведение в степень

$\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}$

Пример: $\left(\dfrac{2x}{y}\right)^3 = \dfrac{8x^3}{y^3}$

Доказательство тождеств

Доказать тождество - значит показать, что его левая и правая части тождественно равны на области допустимых значений.

Способы доказательства

Преобразование левой части к правой .
Преобразование правой части к левой .
Преобразование обеих частей к одному и тому же выражению .
Рассмотрение разности левой и правой частей (если разность равна нулю значит тождество верно) .

Пример доказательства тождества

Пример: доказательство тождества

Докажем тождество: $\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x + 1}{x(x - 1)}$ .

Решение:

Преобразуем левую часть:

$\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x \cdot x}{x(x - 1)} - \dfrac{1 \cdot (x - 1)}{x(x - 1)}$

$= \dfrac{x^2 - (x - 1)}{x(x - 1)} = \dfrac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)}$

Левая часть не равна правой ( $\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)} \neq \dfrac{x + 1}{x(x - 1)}$ ).

Обратите внимание: исходное выражение не является тождеством! Важно всегда проверять результат преобразований .

Примеры преобразований рациональных выражений

Упрощение выражения

Упростим выражение: $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} \cdot \dfrac{x}{x - 1}$ .

Решение:

Разложим числитель первой дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ .

$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} \cdot \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} \cdot \dfrac{x}{x - 1}$

Сокращаем: $= \dfrac{x - 1}{1} \cdot \dfrac{x}{x - 1} = x$ , при $x \neq -1$ , $x \neq 1$ .

Ответ: $x$ (при $x \neq \pm1$ ).

Сложение дробей

Выполним сложение: $\dfrac{3}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x - 2}$ .

Решение:

Разложим знаменатель первой дроби: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .

Общий знаменатель: $(x - 2)(x + 2)$ .

$\dfrac{3}{(x - 2)(x + 2)} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3}{(x - 2)(x + 2)} + \dfrac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \dfrac{3 + x + 2}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)}$

Ответ: $\dfrac{x + 5}{x^2 - 4}$ , при $x \neq \pm2$ .

Типичные ошибки при преобразованиях

Ошибка 1: Сокращение на выражение без учёта ОДЗ

Неправильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$

(без указания $x \neq 0$ )

Правильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$ , при $x \neq 0$

Ошибка 2: Сложение дробей без приведения к общему знаменателю

Неправильно

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x}$

(не нашли общий знаменатель)

Правильно

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2x} + \dfrac{x}{2x} = \dfrac{x + 2}{2x}$

Ошибка 3: Неправильное применение формул сокращённого умножения

Неправильно

$(x + y)^2 = x^2 + y^2$

(потеряли $2xy$ )

Правильно

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

💡 Совет: При выполнении тождественных преобразований всегда записывайте ОДЗ и указывайте, при каких значениях переменных преобразование верно. Это поможет избежать ошибок и потери корней в уравнениях.

Тренажёры по тождественным преобразованиям рациональных выражений

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Тождественные преобразования рациональных выражений». Надеемся, что эти задания будут полезны для вас.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, это поможет понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.