Умножение и деление рациональных дробей

Умножение и деление рациональных дробей и возведение рациональной дроби в степень - операции, которые позволяют преобразовывать сложные алгебраические выражения. Эти навыки необходимы для решения уравнений, упрощения выражений, решения задач и успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике. На этой странице вы узнаете, как выполнять эти действия по правилам, аналогичным правилам для обыкновенных дробей.

Вы уже умеете умножать, делить и возводить в степень обыкновенные дроби. В 8 классе эти правила полностью сохраняются - меняются только объекты: вместо чисел в числителях и знаменателях стоят многочлены.

Умножение рациональных дробей:

$\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Деление рациональных дробей:

$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Возведение в степень:

$\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}$

Умножение рациональных дробей

Умножение рациональных дробей выполняется по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей.

Правило умножения

$\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Чтобы умножить две рациональные дроби, нужно
Перемножить числители (результат записать в числитель).
Перемножить знаменатели (результат записать в знаменатель).
Если возможно, сократить полученную дробь.

Пример 1: $\dfrac{2x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{2x(x - 1)}{x(x + 1)} = \dfrac{2(x - 1)}{x + 1}$

Пример 2: $\dfrac{5x^2}{x - 2} \cdot \dfrac{x + 2}{x} = \dfrac{5x^2(x + 2)}{x(x - 2)} = \dfrac{5x(x + 2)}{x - 2}$

Умножение с предварительным сокращением

Чтобы упростить вычисления, можно сократить дроби до перемножения.

Умножение с предварительным сокращением

Выполните умножение: $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} \cdot \dfrac{3x}{x - 2}$ .

Решение:

Разложим $x^2 - 4$ на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .

$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} \cdot \dfrac{3x}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} \cdot \dfrac{3x}{x - 2}$

Сокращаем на $(x + 2)$ и $(x - 2)$ :

$= 3x$

ОДЗ: $x \neq \pm2$

Ответ: $3x$ , при $x \neq \pm2$ .

Деление рациональных дробей

Деление рациональных дробей заменяется умножением на дробь, обратную делителю. Собственно правило точно такое же, как и для обычных дробей, вам нужно просто перенести его на многочлены

Правило деления

$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно:

Перевернуть дробь-делитель (заменить числитель и знаменатель местами).
Умножить первую дробь на полученную обратную дробь.
Если возможно, сократить результат.

Пример 4: $\dfrac{2x}{x + 1} : \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{2x}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{2(x - 1)}{x + 1}$

Пример деления с предварительным сокращением

Деление с сокращением

Выполните деление: $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} : \dfrac{x - 3}{x}$ .

Решение:

Разложим $x^2 - 9$ на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

$\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} : \dfrac{x - 3}{x} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} \cdot \dfrac{x}{x - 3} = x$

ОДЗ: $x \neq \pm3$ , $x \neq 0$

Ответ: $x$ , при $x \neq 0, \pm3$ .

Возведение рациональной дроби в степень

Возведение рациональной дроби в степень выполняется по правилу, аналогичному правилу для обыкновенных дробей и является по сути умножением дроби на такую же дробь.

Правило возведения в степень

$\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}$

Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности.

Пример: $\left(\dfrac{2x}{y}\right)^3 = \dfrac{(2x)^3}{y^3} = \dfrac{8x^3}{y^3}$

Пример: $\left(\dfrac{x^2}{x + 1}\right)^4 = \dfrac{(x^2)^4}{(x + 1)^4} = \dfrac{x^8}{(x + 1)^4}$

Возведение в отрицательную степень

При возведении рациональной дроби в отрицательную степень дробь переворачивается и затем возводим в степень.

Правило для отрицательной степени

$\left(\dfrac{A}{B}\right)^{-n} = \left(\dfrac{B}{A}\right)^n$

Пример: $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \left(\dfrac{y}{x}\right)^2 = \dfrac{y^2}{x^2}$

Важно: Основание $A$ и $B$ должны быть отличны от нуля.

Комбинированные примеры

Умножение и деление с возведением в степень

Упростите выражение: $\left(\dfrac{x^2}{y}\right)^3 \cdot \dfrac{y^2}{x}$ .

Решение:

Сначала возведём в степень:

$\left(\dfrac{x^2}{y}\right)^3 = \dfrac{x^6}{y^3}$

Выполним умножение:

$\dfrac{x^6}{y^3} \cdot \dfrac{y^2}{x} = \dfrac{x^6 \cdot y^2}{y^3 \cdot x} = \dfrac{x^5}{y}$

ОДЗ: $x \neq 0$ , $y \neq 0$

Ответ: $\dfrac{x^5}{y}$ .

Деление с предварительным разложением

Выполните деление: $\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} : \dfrac{x - 1}{x + 1}$ .

Решение:

Разложим числитель и знаменатель первой дроби:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} : \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} \cdot \dfrac{x + 1}{x - 1} = 1$

ОДЗ: $x \neq \pm1$

Ответ: $1$ , при $x \neq \pm1$ .

Типичные ошибки при умножении и делении дробей

Ошибка 1: Не переворачивают дробь при делении

Неправильно

$\dfrac{2}{x} : \dfrac{3}{y} = \dfrac{6}{xy}$

Правильно

$\dfrac{2}{x} : \dfrac{3}{y} = \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{y}{3} = \dfrac{2y}{3x}$

Ошибка 2: Сокращают отдельные слагаемые

Неправильно

$\dfrac{x + 2}{x + 3} = \dfrac{2}{3}$

Правильно

$\dfrac{x + 2}{x + 3}$ — сократить нельзя (слагаемые сокращать нельзя)

Ошибка 3: Забывают про ОДЗ

Неправильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$

Правильно

$\dfrac{x^2}{x} = x$ , при $x \neq 0$

💡 Совет: При умножении и делении дробей всегда сначала раскладывайте числители и знаменатели на множители, затем сокращайте. И всегда записывайте ОДЗ.

Тренажёры по умножению и делению рациональных дробей

На платформе Экзамео вас ждут интерактивные тренажёры по теме «Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень». Задания подобраны на разных уровнях сложности — от простых вычислений до более сложных преобразований, требующих разложения на множители.

К каждому заданию прилагается подробное решение с объяснением, поэтому вы не просто получаете верный ответ, а разбираетесь в самом алгоритме решения. Двигайтесь в комфортном для себя темпе — если где-то закрадётся ошибка, система сразу подскажет, где искать неточность