На этой странице представлен подробный теоретический и практический разбор темы «Взаимное расположение двух окружностей» по геометрии для 8 класса. Он включает в себя геометрические условия взаимного пересечения и касания окружностей, освоить математические строгие равенства и неравенства, связывающие радиусы и расстояние между центрами , а также уверенно решать проверочные задачи и задания ОГЭ.
Взаимное расположение двух окружностей на плоскости определяется соотношением между их радиусами и длиной отрезка, соединяющего их центры (межатомным/центральным расстоянием ).
5 случаев взаимного расположения двух окружностей
Рассмотрим все возможные виды расположения двух окружностей с центрами и радиусами (при условии во всех рассматриваемых случаях). Все эти расположения окружностей проходятся в 8 классе и вы должны учитывать их при выполнении задач в самостоятельных и контрольных работах, а так же на ОГЭ по математике.
Сначала на эти виды расположения двух окружностей нужно будет обращать особое внимание, потому что различное расположение приводит к многовариантности решения задач, но после отработки заданий в тренажерах вы гарантировано их запомните
Окружности касаются (ровно 1 общая точка)
Две окружности имеют ровно одну общую точку, если они касаются. Различают два вида касания:
Внешнее касание
Окружности расположены по разные стороны от общей касательной, это самый частый вариант расположения окружностей.
Расстояние между центрами:
Внутреннее касание
Одна окружность находится внутри другой, общая точка лежит на линии центров.
Расстояние между центрами:
[ Место для иллюстрации: Внешнее и внутреннее касание двух окружностей с отмеченными центрами O1, O2, точкой касания и линией центров ]
Окружности пересекаются (ровно 2 общие точки)
Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами удовлетворяет двойному неравенству (неравенство треугольника для и точки пересечения):
Условие пересечения 🎯
Главное в пересечении окружностей:
Общая хорда пересекающихся окружностей AB перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.
Это свойство активно используется в задачах с двумя окружностями, в том числе во второй части ОГЭ по математике. Рассмотрим это на рисунке
На рисунке AB - общая хорда двух пересекающихся окружностей, делится отрезком, соединяющим центры пополам
Окружности не имеют общих точек
Если окружности не пересекаются и не касаются, возможны три варианта их взаимного расположения, которые разбираются в этой теме в 8 классе, нужно их тоже учитывать, потому что в задачах чаще всего не будет рисунка, будет просто определение:
1
Расположены вне друг друга (снаружи)
Расстояние между центрами больше суммы радиусов
2
Одна окружность строго внутри другой
Расстояние между центрами меньше разности радиусов
3
Концентрические окружности
Центры окружностей совпадают, расстояние между центрами равно 0
Взаимное расположение
Число общих точек
Соотношение между и
Одна внутри другой (не касаются)
(при — концентрические)
Внутреннее касание
Пересекаются
Внешнее касание
Вне друг друга (снаружи)
Важное свойство точки касания! 💡
При любом касании (внешнем или внутреннем) точка касания строго лежит на прямой , проходящей через центры двух окружностей (линии центров)!
Разбор типовых заданий на взаимное расположение окружности из проверочных работ для 8 класс
Рассмотрим варианты заданий на взаимное расположение окружностей из учебников и задачников для 8 класса по геометрии. Каждое решение оформлено пошагово, как требуется в домашних и самостоятельных работах. Обратите особо внимание на то, что из одного условия задачи может следовать две различные картинки - такие ситуации будут встречаться и на ОГЭ и на ЕГЭ во второй части и именно многовариантность задач с окружности, основанная на взаимном расположении двух окружностей то самое место, где ребята часто теряют баллы
Пример 1: Определение числа точек пересечения по радиусам и расстоянию
Задание: Радиусы двух окружностей равны и , а расстояние между их центрами равно . Каково взаимное расположение этих окружностей?
Подробное решение:
1) Из условия задачи: , , расстояние .
2) Найдем сумму и разность радиусов:
• ;
• .
3) Сравним расстояние между центрами с полученными значениями:
.
4) Неравенство выполнено, следовательно, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: окружности пересекаются в 2 точках.
Пример 2: Нахождение расстояния между центрами при внутреннем и внешнем касании
Задание: Две окружности с радиусами и касаются. Найдите расстояние между их центрами, если касание: а) внешнее; б) внутреннее.
Подробное решение:
1) При внешнем касании:
.
2) При внутреннем касании:
.
Ответ: а) ; б) .
Тренажёры с задачами на взаимное расположение окружностей на Экзамео
Отработайте все случаи взаимного расположения двух окружностей с помощью интерактивных тренажёров на платформе «Экзамео». Задания для 8 класса охватывают различные варианты пересечения, касания и отсутствия общих точек. Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы по геометрии.
Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что позволяет сразу разобрать ошибки. Тренируйтесь в удобном режиме и уверенно справляйтесь с проверочными работами.