Взаимное расположение прямой и окружности - касательные и секущие

Справочник содержит всю необходимую теорию по теме «Взаимное расположение прямой и окружности» в объёме геометрии 8 класса. Разобраны условия, при которых прямая не пересекает окружность, касается её или пересекает в двух точках; введены понятия секущей и касательной.

Отдельно рассмотрена связь между расстоянием от центра до прямой и величиной радиуса — ключевой критерий для определения типа расположения. Материал поможет подготовиться к текущим проверочным работам и ОГЭ.

Данная тема является основой для дальнейшего изучения угловых и метрических свойств в окружности. Отработать теорию вы сможете в тренажерах в конце страницы

3 случая взаимного расположения прямой и окружности для 8 класса

Пусть дана окружность радиуса $r$ с центром в точке $O$ , а $d$ — расстояние от центра $O$ до некоторой прямой $p$ (длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $p$ ). В зависимости от соотношения между $d$ и $r$ возможны ровно три случая.

Зависимость радиуса и расстояния до прямой лежит в основе задач на взаимное расположение прямой и окружности в 8 классе, рассмотрим примеры таких задач после теории.

Секущая

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше её радиуса ( $d < r$ ), прямая и окружность имеют ровно две общие точки и такая прямая называется секущей.

Определение секущей 🎯

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

• Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой.

Касательная

Если расстояние от центра окружности до прямой равно её радиусу ( $d = r$ ), прямая и окружность имеют ровно одну общую точку.

Определение касательной 🎯

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой касания.

Главное свойство касательной:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания ( $p \perp r$ ).

Расстояние больше радиуса ( $d > r$ ) — нет общих точек

Если расстояние от центра окружности до прямой больше её радиуса ( $d > r$ ), прямая и окружность не имеют общих точек ( $0$ общих точек). Прямая проходит целиком снаружи окружности.

Сводная таблица вариантов расположения

Соотношение между $d$ и $r$

Число общих точек

Название прямой

Геометрическая особенность

$d < r$

$2$

Секущая

Прямая пересекает окружность, образуется хорда.

$d = r$

$1$

Касательная

Прямая перпендикулярна радиусу в точке касания.

$d > r$

$0$

Проходит вне окружности

Прямая и окружность не имеют пересечений.

Запомни для решения задач! 💡

Сколько бы прямая и окружность ни располагались на плоскости, они никогда не могут иметь больше 2 общих точек!

Примеры использования взаимного расположения прямой и окружности в задачах по геометрии в 8 классе

Рассмотрите решения задач, характерных для уроков геометрии в 8 классе на расположение прямой и окружности в 8 классе. Задачи закладывают основы для

Пример 1: Определение взаимного расположения окружности и прямой по d и r

Задание: Радиус окружности равен $8\text{ см}$ . Каково взаимное расположение прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно: а) $5\text{ см}$ ; б) $8\text{ см}$ ; в) $11\text{ см}$ ?

Подробное решение:

1) По условию $r = 8\text{ см}$ .

2) Случай а) $d = 5\text{ см}$ :
Так как $5 < 8$ ( $d < r$ ), прямая является секущей и имеет с окружностью 2 общие точки.

3) Случай б) $d = 8\text{ см}$ :
Так как $8 = 8$ ( $d = r$ ), прямая является касательной и имеет с окружностью 1 общую точку.

4) Случай в) $d = 11\text{ см}$ :
Так как $11 > 8$ ( $d > r$ ), прямая проходит вне окружности и имеет 0 общих точек.

Ответ: а) 2 общие точки (секущая); б) 1 общая точка (касательная); в) 0 общих точек.

Пример 2: Нахождение расстояния от центра до секущей через теорему Пифагора

Задание: Прямая пересекает окружность радиуса $10\text{ см}$ и отсекает хорду длиной $16\text{ см}$ . Найдите расстояние от центра окружности до этой прямой.

Подробное решение:

1) Пусть $AB = 16\text{ см}$ — хорда, образованная пересечением секущей прямой и окружности радиуса $R = OA = OB = 10\text{ см}$ .

2) Расстояние от центра $O$ до прямой — перпендикуляр $OK \perp AB$ .

3) В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ ( $OA = OB = 10\text{ см}$ ) перпендикуляр $OK$ является высотой и медианой. Следовательно, $AK = KB = 16 : 2 = 8\text{ см}$ .

4) Из прямоугольного треугольника $\triangle OAK$ по теореме Пифагора находим искомое расстояние $d = OK$ :
$OK = \sqrt{OA^2 - AK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ см}$ .

Ответ: $6\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Взаимное расположение прямой и окружности» для 8 класса

Закрепить знания о расположении прямой и окружности помогут онлайн-тренажёры «Экзамео». Для восьмиклассников собраны задачи на распознавание случаев касания, пересечения и отсутствия общих точек, а также на применение соответствующих признаков в геометрических конструкциях. Упражнения составлены с учётом образовательных стандартов и охватывают все типовые ситуации из школьной практики.

Каждое задание сопровождается автоматической проверкой и подробным решением, что позволяет эффективно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы